Ada Berapa Banyak Solusi Dari X1 X2 X3 11

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 12, 2025

41

Share

Berikut adalah postingan blog yang dioptimalkan SEO tentang topik tersebut:

Ada Berapa Banyak Solusi Dari X1 + X2 + X3 = 11?

Mencari solusi untuk persamaan x1 + x2 + x3 = 11 bisa menjadi tantangan, terutama jika Anda harus mempertimbangkan berbagai batasan atau kondisi. Posting blog ini akan memandu Anda melalui cara menemukan jumlah solusi untuk persamaan ini, berdasarkan berbagai skenario.

Memahami Masalahnya

Persamaan diophantine linear x1 + x2 + x3 = 11 meminta kita untuk menemukan jumlah cara kita dapat menjumlahkan tiga bilangan bulat non-negatif (x1, x2, dan x3) untuk mendapatkan 11. Perhatikan bahwa kita mengasumsikan x1, x2, dan x3 adalah bilangan bulat non-negatif, artinya mereka bisa berupa 0, 1, 2, dan seterusnya.

Metode Bintang dan Batang

Metode paling umum untuk memecahkan masalah ini adalah dengan menggunakan metode bintang dan batang (stars and bars). Metode ini menggunakan representasi visual untuk memudahkan penghitungan solusi.

Cara Menggunakan Metode Bintang dan Batang

1. Representasikan jumlah sebagai bintang: Kita memiliki 11 sebagai jumlah total (11 bintang).

2. Tambahkan batang pemisah: Kita perlu dua batang pemisah untuk memisahkan x1, x2, dan x3.

3. Susun bintang dan batang: Atur 11 bintang dan 2 batang dalam urutan apa pun. Setiap susunan mewakili solusi yang unik.

4. Hitung jumlah susunan: Jumlah cara untuk menyusun 11 bintang dan 2 batang adalah sama dengan jumlah kombinasi memilih posisi untuk 2 batang di antara 13 posisi (11 bintang + 2 batang). Ini dapat dihitung menggunakan kombinasi:

   C(n + k - 1, k - 1) = C(n + k - 1, n)
   

   di mana n adalah jumlah total (11) dan k adalah jumlah variabel (3).

5. Hitung jumlah solusi: Dengan menggunakan rumus di atas:

   C(11 + 3 - 1, 3 - 1) = C(13, 2) = 13! / (2! * 11!) = 78
   

   Oleh karena itu, ada 78 solusi untuk persamaan x1 + x2 + x3 = 11 ketika x1, x2, dan x3 adalah bilangan bulat non-negatif.

Skenario Tambahan

Apa yang terjadi jika kita menambahkan batasan pada x1, x2, atau x3? Misalnya:

Jika x1 ≥ 2, x2 ≥ 1, x3 ≥ 0

Dalam skenario ini, kita perlu menyesuaikan rumus. Kita dapat mendefinisikan variabel baru:

• x1' = x1 - 2
• x2' = x2 - 1
• x3' = x3

Persamaan baru menjadi:

x1' + 2 + x2' + 1 + x3' = 11

x1' + x2' + x3' = 8

Sekarang kita dapat menggunakan metode bintang dan batang lagi dengan n = 8 dan k = 3:

C(8 + 3 - 1, 3 - 1) = C(10, 2) = 45

Jadi ada 45 solusi dalam skenario ini.

Kesimpulan

Mencari jumlah solusi untuk persamaan diophantine linear seperti x1 + x2 + x3 = 11 dapat dilakukan dengan menggunakan metode bintang dan batang. Metode ini memberikan cara sistematis untuk menghitung semua solusi yang mungkin, dan dapat dimodifikasi untuk memperhitungkan batasan tambahan pada variabel. Ingatlah untuk selalu mempertimbangkan batasan yang diberikan sebelum menerapkan metode ini. Semoga panduan ini bermanfaat!