Buktikan Bahwa E E0 E Ikx-Wt Adalh Solusi Persamaan Gelombang

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 25, 2025

61

Share

Membuktikan bahwa E = E₀e^(ikx-ωt) adalah Solusi Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang adalah persamaan diferensial parsial yang menggambarkan bagaimana gelombang merambat dalam ruang dan waktu. Bentuk umum persamaan gelombang satu dimensi adalah:

∂²E/∂x² = (1/v²) ∂²E/∂t²

dimana:

• E mewakili besaran gelombang (misalnya, medan listrik untuk gelombang elektromagnetik).
• x mewakili posisi.
• t mewakili waktu.
• v mewakili kecepatan rambat gelombang.

Tujuan kita adalah untuk membuktikan bahwa fungsi gelombang E = E₀e^(ikx-ωt) merupakan solusi dari persamaan gelombang ini. Kita akan melakukan ini dengan mensubstitusikan fungsi gelombang ke dalam persamaan gelombang dan menunjukkan bahwa persamaan tersebut terpenuhi.

Langkah-langkah Pembuktian

1. Mencari turunan parsial terhadap x:

Pertama, kita cari turunan parsial kedua dari E terhadap x:

∂E/∂x = ikE₀e^(ikx-ωt)
∂²E/∂x² = -k²E₀e^(ikx-ωt) = -k²E

2. Mencari turunan parsial terhadap t:

Selanjutnya, kita cari turunan parsial kedua dari E terhadap t:

∂E/∂t = -iωE₀e^(ikx-ωt)
∂²E/∂t² = -ω²E₀e^(ikx-ωt) = -ω²E

3. Substitusi ke Persamaan Gelombang:

Sekarang, kita substitusikan turunan parsial yang telah kita cari ke dalam persamaan gelombang:

-k²E = (1/v²)(-ω²E)

4. Penyederhanaan dan Pembuktian:

Kita dapat menyederhanakan persamaan di atas menjadi:

k² = ω²/v²

atau

v = ω/k

Persamaan ini merupakan hubungan dispersi untuk gelombang. Ini menunjukkan bahwa kecepatan rambat gelombang (v) bergantung pada frekuensi sudut (ω) dan bilangan gelombang (k). Karena hubungan ini konsisten dengan sifat gelombang, kita telah membuktikan bahwa E = E₀e^(ikx-ωt) memang merupakan solusi dari persamaan gelombang.

Kesimpulan

Dengan mensubstitusikan E = E₀e^(ikx-ωt) ke dalam persamaan gelombang dan menunjukkan bahwa persamaan tersebut terpenuhi (dengan asumsi hubungan dispersi v = ω/k), kita telah membuktikan bahwa fungsi tersebut adalah solusi yang valid. Fungsi ini mewakili gelombang sinusoidal yang merambat dengan kecepatan v. Penting untuk diingat bahwa E₀ merupakan amplitudo gelombang, k adalah bilangan gelombang, dan ω adalah frekuensi sudut. Pemahaman mengenai penyelesaian persamaan gelombang ini penting dalam berbagai bidang fisika, termasuk elektromagnetisme, akustik, dan mekanika gelombang.