Cara Mencari Solusi Diferensial Eksak Matlab

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 15, 2025

44

Share

Cara Mencari Penyelesaian Persamaan Diferensial Eksak di Matlab

Persamaan diferensial eksak merupakan jenis persamaan diferensial yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan teknik integrasi. Matlab menyediakan berbagai tools dan fungsi yang mempermudah proses penyelesaian ini. Artikel ini akan memandu Anda melalui langkah-langkah untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial eksak menggunakan Matlab.

Memahami Persamaan Diferensial Eksak

Sebelum kita menyelami implementasinya di Matlab, mari kita perjelas definisi persamaan diferensial eksak. Suatu persamaan diferensial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan eksak jika memenuhi kondisi:

∂M/∂y = ∂N/∂x

di mana ∂M/∂y adalah turunan parsial M terhadap y, dan ∂N/∂x adalah turunan parsial N terhadap x. Jika kondisi ini terpenuhi, penyelesaiannya dapat ditemukan melalui integrasi.

Langkah-langkah Mencari Penyelesaian di Matlab

Meskipun Matlab tidak memiliki fungsi khusus untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak secara langsung, kita dapat menggunakan kemampuan simbolisnya untuk memeriksa kriteria eksak dan menemukan penyelesaiannya. Berikut langkah-langkahnya:

1. Mendefinisikan Persamaan: Pertama, definisikan fungsi M(x,y) dan N(x,y) dalam Matlab menggunakan Symbolic Toolbox. Contohnya:

syms x y;
M = x^2 + y;
N = 2*x*y + 1;

2. Memeriksa Kondisi Eksak: Hitung turunan parsial ∂M/∂y dan ∂N/∂x menggunakan fungsi diff:

dMdy = diff(M, y);
dNdx = diff(N, x);

3. Verifikasi Kondisi: Periksa apakah ∂M/∂y sama dengan ∂N/∂x. Jika sama, persamaan tersebut eksak.

simplify(dMdy - dNdx) % Jika hasilnya 0, persamaan eksak

4. Mencari Fungsi Potensial: Jika persamaan eksak, kita perlu menemukan fungsi potensial, f(x,y), sehingga:

∂f/∂x = M dan ∂f/∂y = N

Kita dapat mengintegrasikan M terhadap x untuk mendapatkan sebagian dari f(x,y):

fxy = int(M, x);

5. Menentukan Fungsi g(y): Karena integrasi terhadap x mungkin menghasilkan fungsi dari y, tambahkan fungsi arbitrer g(y) ke hasil integrasi:

fxy = int(M,x) + g(y)

6. Menentukan g(y): Turunkan fxy terhadap y dan samakan dengan N:

diff(fxy, y) == N

Dari persamaan ini, Anda dapat menentukan bentuk g(y) dan mengintegrasikan untuk mendapatkan g(y).

7. Penyelesaian Akhir: Substitusikan g(y) kembali ke fxy. Penyelesaian umum persamaan diferensial eksak adalah:

f(x,y) = C

di mana C adalah konstanta.

Contoh Lengkap

Mari kita selesaikan persamaan diferensial eksak: (x² + y)dx + (2xy + 1)dy = 0

syms x y;
M = x^2 + y;
N = 2*x*y + 1;

dMdy = diff(M, y);
dNdx = diff(N, x);

simplify(dMdy - dNdx) % Memeriksa keakuratan

fxy = int(M, x);
fxy = fxy + g(y); %g(y) adalah fungsi arbitrer y

diff(fxy, y) == N  % menentukan g(y)

% Dari sini kita dapat menentukan g(y)  dan menyelesaikannya

Setelah langkah-langkah di atas diikuti, anda akan mendapatkan penyelesaian umum dari persamaan diferensial eksak yang diberikan. Ingat untuk selalu memverifikasi hasil Anda.

Kesimpulan

Matlab menawarkan lingkungan yang kuat untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan memanfaatkan Symbolic Toolbox. Dengan memahami konsep persamaan diferensial eksak dan menguasai langkah-langkah yang diuraikan di atas, Anda dapat dengan mudah mengatasi masalah ini dalam berbagai aplikasi teknik dan sains. Ingatlah untuk selalu memeriksa kondisi eksak sebelum mencoba mencari solusi.