Carilah Persamaan Diferensial Dimana Solusi Umumnya Adalah Y C1e2t C2e-3t

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 02, 2025

73

Share

Berikut adalah artikel tentang cara menemukan persamaan diferensial yang solusinya umum adalah y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻³ᵗ:

Menemukan Persamaan Diferensial dengan Solusi Umum y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻³ᵗ

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan fungsi dengan turunannya. Menemukan persamaan diferensial yang memiliki solusi umum tertentu adalah proses yang melibatkan manipulasi aljabar dan pemahaman sifat-sifat persamaan diferensial linear. Artikel ini akan memandu Anda melalui langkah-langkah menemukan persamaan diferensial orde dua linear dengan koefisien konstan yang memiliki solusi umum y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻³ᵗ.

Memahami Solusi Umum

Solusi umum dari persamaan diferensial orde dua linear dengan koefisien konstan biasanya berbentuk y = C₁e^(r₁t) + C₂e^(r₂t), di mana:

• y adalah fungsi dependen.
• t adalah variabel independen.
• C₁ dan C₂ adalah konstanta arbitrer.
• r₁ dan r₂ adalah akar-akar persamaan karakteristik.

Dalam kasus kita, r₁ = 2 dan r₂ = -3.

Menentukan Persamaan Karakteristik

Persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial orde dua linear dengan koefisien konstan memiliki bentuk ar² + br + c = 0, di mana a, b, dan c adalah koefisien dari persamaan diferensial. Akar-akar persamaan karakteristik (r₁ dan r₂) berhubungan langsung dengan solusi umum.

Karena kita tahu r₁ = 2 dan r₂ = -3, kita bisa menulis persamaan karakteristik sebagai:

(r - 2)(r + 3) = 0

Memperluas persamaan ini, kita peroleh:

r² + r - 6 = 0

Membangun Persamaan Diferensial

Persamaan karakteristik r² + r - 6 = 0 berkaitan langsung dengan persamaan diferensial orde dua linear dengan koefisien konstan. Koefisien-koefisien dalam persamaan karakteristik sesuai dengan koefisien dari turunan dalam persamaan diferensial:

• Koefisien r² adalah koefisien dari y'' (turunan kedua y terhadap t).
• Koefisien r adalah koefisien dari y' (turunan pertama y terhadap t).
• Konstanta adalah koefisien dari y.

Oleh karena itu, persamaan diferensial yang kita cari adalah:

y'' + y' - 6y = 0

Verifikasi Solusi

Untuk memverifikasi bahwa y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻³ᵗ memang solusi dari y'' + y' - 6y = 0, kita bisa mensubstitusikan solusi umum ke dalam persamaan diferensial. Setelah melakukan perhitungan turunan dan substitusi, kita akan menemukan bahwa persamaan tersebut terpenuhi.

Kesimpulan

Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita telah berhasil menemukan persamaan diferensial orde dua linear dengan koefisien konstan yang memiliki solusi umum y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻³ᵗ. Proses ini melibatkan memahami hubungan antara solusi umum, persamaan karakteristik, dan persamaan diferensial itu sendiri. Dengan pemahaman yang kuat tentang konsep-konsep ini, Anda dapat menyelesaikan masalah serupa yang melibatkan persamaan diferensial lainnya. Ingatlah untuk selalu memverifikasi solusi Anda setelah menemukannya untuk memastikan akurasi.