Mencari Solusi Persamaan Diferensial: dx/(2-y) = dy/x
Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang menghubungkan suatu fungsi dengan turunannya. Persamaan diferensial biasa (PDB) hanya melibatkan turunan terhadap satu variabel independen. Memecahkan PDB artinya menemukan fungsi yang memenuhi persamaan tersebut. Pada artikel ini, kita akan membahas bagaimana mencari solusi untuk persamaan diferensial dx/(2-y) = dy/x.
Mengidentifikasi Jenis Persamaan
Pertama, kita perlu mengidentifikasi jenis persamaan diferensial yang kita hadapi. Persamaan dx/(2-y) = dy/x dapat ditulis ulang sebagai:
x dx = (2-y) dy
Bentuk ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut adalah persamaan diferensial variabel-variabel terpisah. Ini berarti variabel-variabel independen (x) dan dependen (y) dapat dipisahkan ke sisi yang berbeda dari persamaan.
Memisahkan Variabel
Langkah selanjutnya adalah memisahkan variabel-variabel tersebut. Kita sudah melakukan sebagian besar proses ini di atas. Persamaan kita kini terlihat seperti ini:
x dx = (2-y) dy
Integrasi
Sekarang, kita mengintegralkan kedua sisi persamaan terhadap variabel masing-masing:
β«x dx = β«(2-y) dy
Hasil integrasi adalah:
xΒ²/2 = 2y - yΒ²/2 + C
di mana C adalah konstanta integrasi.
Menyederhanakan Solusi
Kita dapat menyederhanakan persamaan di atas agar lebih mudah dibaca:
xΒ² + yΒ² - 4y = 2C
Karena 2C masih merupakan konstanta, kita dapat menggantinya dengan konstanta lain, sebut saja K:
xΒ² + yΒ² - 4y = K
Ini adalah solusi umum untuk persamaan diferensial dx/(2-y) = dy/x. Solusi ini merepresentasikan keluarga kurva.
Menemukan Solusi Khusus
Untuk menemukan solusi khusus, kita membutuhkan kondisi awal, yaitu nilai x dan y pada titik tertentu. Misalnya, jika diberikan kondisi awal x=1 dan y=0, kita dapat menghitung nilai K:
1Β² + 0Β² - 4(0) = K
K = 1
Jadi, solusi khusus untuk kondisi awal ini adalah:
xΒ² + yΒ² - 4y = 1
Kesimpulan
Memecahkan persamaan diferensial dx/(2-y) = dy/x melibatkan pemisahan variabel, integrasi, dan menyederhanakan hasilnya. Solusi umum yang diperoleh merepresentasikan keluarga kurva, sementara solusi khusus membutuhkan kondisi awal untuk menentukan nilai konstanta integrasi. Metode ini dapat diaplikasikan untuk berbagai persamaan diferensial variabel-variabel terpisah lainnya. Ingatlah untuk selalu memeriksa solusi Anda dengan mensubstitusikan kembali ke persamaan diferensial asli.
