Contoh Sistem Persamaan Linier yang Mempunyai Solusi Trivial
Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang melibatkan variabel yang sama. Solusi trivial dari sistem persamaan linear adalah solusi di mana semua variabel sama dengan nol. Tidak semua sistem persamaan linear memiliki solusi trivial. Artikel ini akan menjelaskan kondisi-kondisi yang menyebabkan sistem persamaan linear memiliki solusi trivial dan memberikan beberapa contoh.
Kapan Sistem Persamaan Linear Memiliki Solusi Trivial?
Sistem persamaan linear homogen (di mana semua konstanta di sisi kanan persamaan sama dengan nol) selalu memiliki solusi trivial. Ini karena jika kita substitusikan semua variabel dengan nol, persamaan akan selalu terpenuhi.
Misalnya, perhatikan sistem persamaan linear berikut:
2x + 3y = 0
x - y = 0
Jika kita substitusikan x = 0 dan y = 0, kita akan mendapatkan:
2(0) + 3(0) = 0
0 - 0 = 0
Kedua persamaan terpenuhi, sehingga x = 0 dan y = 0 adalah solusi trivial dari sistem persamaan ini.
Kondisi penting lainnya: Sistem persamaan linear yang tidak homogen (konstanta di sisi kanan tidak semuanya nol) mungkin memiliki solusi trivial, tetapi ini hanya terjadi jika matriks koefisiennya singular (determinan matriksnya sama dengan nol). Matriks singular menunjukkan ketergantungan linier di antara persamaan, yang dapat mengakibatkan solusi trivial atau tak terhingga banyaknya solusi.
Contoh Sistem Persamaan Linear dengan Solusi Trivial (Homogen)
Berikut beberapa contoh sistem persamaan linear homogen yang hanya memiliki solusi trivial:
Contoh 1:
x + y = 0
2x - y = 0
Solusi: x = 0, y = 0
Contoh 2:
x + 2y + z = 0
2x - y + 3z = 0
x + y - z = 0
Solusi: x = 0, y = 0, z = 0
Contoh Sistem Persamaan Linear dengan Solusi Trivial (Tidak Homogen)
Sistem persamaan linear tidak homogen jarang sekali memiliki solusi trivial. Namun, ada kasus-kasus khusus. Perhatikan contoh berikut:
2x + y = 0
4x + 2y = 0
Sistem ini terlihat memiliki dua persamaan yang independen, tapi jika diperhatikan seksama, persamaan kedua merupakan perkalian dua dari persamaan pertama. Matriks koefisiennya singular, dan hanya solusi trivial (x=0, y=0) yang memenuhi.
Perlu dicatat: Menemukan solusi trivial sangatlah mudah untuk sistem homogen. Untuk sistem tak homogen, diperlukan teknik seperti eliminasi Gauss-Jordan atau aturan Cramer untuk menentukan apakah terdapat solusi trivial dan solusi lainnya.
Kesimpulan
Solusi trivial dari sistem persamaan linear adalah kasus khusus di mana semua variabel bernilai nol. Sistem persamaan linear homogen selalu memiliki solusi trivial. Sistem persamaan linear tidak homogen mungkin memiliki solusi trivial, tetapi ini hanya terjadi dalam kasus-kasus khusus ketika matriks koefisiennya singular, menunjukkan adanya ketergantungan linier antara persamaan. Memahami konsep solusi trivial penting dalam aljabar linear dan aplikasinya di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknik.
