Contoh Soal Dan Solusi Pd Homogen Orde 1

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 28, 2025

40

Share

Contoh Soal dan Solusi Persamaan Diferensial Homogen Orde 1

Persamaan diferensial homogen orde pertama merupakan jenis persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk dy/dx = f(x, y), di mana f(x, y) adalah fungsi homogen derajat nol. Ini berarti bahwa f(tx, ty) = f(x, y) untuk setiap t ≠ 0. Memecahkan persamaan diferensial ini memerlukan teknik substitusi tertentu. Artikel ini akan memberikan contoh soal dan solusi lengkap untuk membantu Anda memahami konsep ini.

Memahami Persamaan Diferensial Homogen Orde 1

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali definisi dan karakteristik utama persamaan diferensial homogen orde 1:

• Bentuk Umum: Persamaan diferensial homogen orde pertama umumnya ditulis dalam bentuk dy/dx = F(y/x), atau dalam bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 di mana M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen derajat yang sama.

• Derajat Homogenitas: Fungsi f(x, y) dikatakan homogen derajat nol jika f(tx, ty) = f(x, y) untuk setiap t ≠ 0. Ini berarti bahwa fungsi tersebut tidak berubah jika kita menskalakan variabel x dan y dengan faktor yang sama.

• Teknik Penyelesaian: Teknik utama untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde pertama adalah dengan melakukan substitusi v = y/x. Ini akan mengubah persamaan menjadi persamaan diferensial yang dapat dipisahkan, yang kemudian dapat diintegrasikan untuk mendapatkan solusi umumnya.

Contoh Soal 1:

Soal: Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial homogen: dy/dx = (x² + y²) / xy

Solusi:

1. Identifikasi: Perhatikan bahwa persamaan ini merupakan persamaan diferensial homogen karena jika kita substitusikan x dengan tx dan y dengan ty, fungsi (x² + y²) / xy tetap sama.

2. Substitusi: Gunakan substitusi v = y/x, sehingga y = vx. Kemudian, kita hitung turunannya terhadap x: dy/dx = v + x(dv/dx).

3. Substitusikan ke Persamaan: Substitusikan v dan dy/dx ke dalam persamaan diferensial asli:

   v + x(dv/dx) = (x² + (vx)²) / x(vx) = (x²(1 + v²)) / (vx²) = (1 + v²) / v

4. Pisahkan Variabel: Ubah persamaan agar variabelnya terpisah:

   x(dv/dx) = (1 + v²) / v - v = (1 + v² - v²) / v = 1/v

   v dv = dx/x

5. Integrasikan: Integrasikan kedua sisi persamaan:

   ∫v dv = ∫dx/x

   v²/2 = ln|x| + C₁

6. Substitusikan Kembali: Substitusikan kembali v = y/x:

   (y/x)²/2 = ln|x| + C₁

   y²/2x² = ln|x| + C₁

   y² = 2x²(ln|x| + C₁) dimana C₁ adalah konstanta integrasi. Ini adalah penyelesaian umum persamaan diferensial.

Contoh Soal 2:

Soal: Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial: x dy - y dx = √(x² + y²) dx

Solusi:

1. Ubah Bentuk: Ubah persamaan menjadi bentuk standar: dy/dx = (y + √(x² + y²)) / x

2. Identifikasi dan Substitusi: Persamaan ini homogen. Gunakan substitusi v = y/x, y = vx, dy/dx = v + x(dv/dx).

3. Substitusi dan Penyederhanaan:

   v + x(dv/dx) = (vx + √(x² + (vx)²)) / x = v + √(1 + v²)

   x(dv/dx) = √(1 + v²)

4. Pisahkan Variabel dan Integrasikan:

   dv/√(1 + v²) = dx/x

   arsinh(v) = ln|x| + C₁

5. Substitusikan Kembali:

   arsinh(y/x) = ln|x| + C₁

Ini adalah solusi umum persamaan diferensial homogen tersebut. Ingat, arsinh(v) adalah invers fungsi sinh(v).

Kesimpulan:

Mempelajari persamaan diferensial homogen orde pertama memerlukan pemahaman yang kuat tentang konsep homogenitas dan kemampuan untuk menerapkan substitusi yang tepat. Dengan latihan yang cukup, Anda akan mampu menyelesaikan berbagai macam persamaan diferensial homogen. Semoga contoh soal dan solusi di atas membantu Anda dalam memahami konsep ini. Ingatlah untuk selalu memeriksa solusi Anda dan pastikan untuk memahami setiap langkah dalam proses penyelesaian.