Contoh Soal Deret Solusi Persamaan Diferensial

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 23, 2025

46

Share

Berikut adalah artikel tentang contoh soal deret solusi persamaan diferensial:

Contoh Soal Deret Solusi Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial merupakan persamaan matematika yang melibatkan fungsi dan turunannya. Menemukan solusi untuk persamaan diferensial tertentu bisa menantang, dan terkadang metode solusi standar seperti pemisahan variabel atau faktor integral tidak cukup. Dalam kasus seperti itu, metode deret pangkat dapat menjadi alat yang ampuh. Metode ini melibatkan representasi solusi sebagai deret tak hingga, yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial untuk menentukan koefisien deret.

Memahami Metode Deret Pangkat

Metode deret pangkat bertujuan untuk menemukan solusi persamaan diferensial dalam bentuk deret pangkat:

y(x) = Σ (aₙ * xⁿ)  dimana n = 0 hingga ∞

dimana aₙ adalah koefisien yang perlu ditentukan. Prosesnya melibatkan:

1. Substitusi: Substitusikan deret pangkat dan turunannya ke dalam persamaan diferensial.
2. Pengumpulan Suku: Kumpulkan suku-suku dengan pangkat x yang sama.
3. Penentuan Koefisien: Tetapkan koefisien setiap pangkat x sama dengan nol untuk menghasilkan relasi rekursif untuk aₙ.
4. Menentukan Koefisien: Gunakan relasi rekursif untuk menentukan koefisien-koefisien aₙ.
5. Membentuk Solusi: Substitusikan koefisien yang telah ditemukan kembali ke dalam deret pangkat untuk mendapatkan solusi.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Mari kita bahas beberapa contoh soal untuk memperjelas metode ini.

Contoh 1: Persamaan Diferensial Sederhana

Soal: Temukan solusi deret pangkat untuk persamaan diferensial y' - y = 0 sekitar x = 0.

Penyelesaian:

1. Asumsikan solusi: y(x) = Σ (aₙ * xⁿ)

2. Turunan: y'(x) = Σ (n * aₙ * xⁿ⁻¹)

3. Substitusi: Substitusikan y(x) dan y'(x) ke dalam persamaan diferensial: Σ (n * aₙ * xⁿ⁻¹) - Σ (aₙ * xⁿ) = 0

4. Pengumpulan suku: Ubah indeks penjumlahan agar pangkat x sama: a₁ + Σ [(n+1)aₙ₊₁ - aₙ]xⁿ = 0

5. Penentuan koefisien: a₁ = 0 dan (n+1)aₙ₊₁ - aₙ = 0 untuk n ≥ 0

6. Relasi rekursif: aₙ₊₁ = aₙ / (n+1)

7. Menentukan koefisien: a₁ = 0, a₂ = a₁/2 = 0, a₃ = a₂/3 = 0, dan seterusnya. Ini menunjukkan bahwa aₙ = 0 untuk semua n ≥ 1. a₀ dapat berupa konstanta sembarang.

8. Solusi: y(x) = a₀, dimana a₀ adalah konstanta.

Contoh 2: Persamaan Diferensial yang Lebih Kompleks

Soal: Temukan solusi deret pangkat untuk persamaan diferensial y'' + y = 0 sekitar x = 0.

Penyelesaian:

Langkah-langkahnya mirip dengan contoh 1, tetapi melibatkan turunan kedua. Proses ini akan menghasilkan relasi rekursif yang akan memberikan solusi dalam bentuk kombinasi fungsi trigonometri (sin x dan cos x), yang merupakan solusi umum untuk persamaan diferensial ini. Detail penyelesaiannya membutuhkan ruang yang lebih luas, tetapi prinsipnya tetap sama.

Kesimpulan

Metode deret pangkat menyediakan cara yang kuat untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan metode standar. Meskipun prosesnya mungkin tampak rumit pada awalnya, pemahaman yang mendalam tentang aljabar dan kalkulus akan memudahkan anda dalam menguasai metode ini. Dengan latihan dan pemahaman yang cukup, anda akan mampu menyelesaikan berbagai macam persamaan diferensial menggunakan teknik deret pangkat. Ingatlah untuk selalu memperhatikan detail dan ketelitian dalam setiap langkah perhitungan.