Contoh Soal Fourier Series Dan Solusi

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 12, 2025

37

Share

Berikut adalah posting blog tentang contoh soal deret Fourier dan solusinya:

Contoh Soal Deret Fourier dan Solusi

Deret Fourier adalah alat matematika yang ampuh yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi periodik sebagai jumlah tak hingga dari fungsi sinus dan kosinus. Ini memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, termasuk pemrosesan sinyal, persamaan diferensial parsial, dan analisis data. Memahami konsep deret Fourier dan mampu menyelesaikan masalah terkait sangat penting bagi siswa dan profesional di berbagai disiplin ilmu. Posting blog ini akan memberikan beberapa contoh soal deret Fourier dan penyelesaiannya secara terperinci, membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.

Memahami Konsep Dasar Deret Fourier

Sebelum menyelami contoh soal, mari kita tinjau singkat konsep-konsep kunci yang mendasari deret Fourier. Untuk fungsi periodik f(x) dengan periode 2L, deret Fourier didefinisikan sebagai:

f(x) = a₀/2 + Σ [an cos(nπx/L) + bn sin(nπx/L)]  (n=1 hingga ∞)

dimana:

• a₀: Koefisien rata-rata, dihitung dengan: a₀ = (1/L) ∫₋ˡ⁺ˡ f(x) dx
• an: Koefisien kosinus, dihitung dengan: an = (1/L) ∫₋ˡ⁺ˡ f(x) cos(nπx/L) dx
• bn: Koefisien sinus, dihitung dengan: bn = (1/L) ∫₋ˡ⁺ˡ f(x) sin(nπx/L) dx

Integral tersebut dihitung pada satu periode fungsi. Penting untuk memperhatikan batas integral dan fungsi yang sedang diintegrasikan.

Contoh Soal 1: Fungsi Persegi

Soal: Temukan deret Fourier untuk fungsi periodik dengan periode 2π yang didefinisikan sebagai:

f(x) = { 1,  -π < x < 0
       { -1,  0 < x < π

Solusi:

1. Hitung a₀: Karena fungsi ganjil (f(-x) = -f(x)), a₀ = 0.

2. Hitung an: Karena fungsi ganjil, semua koefisien an juga akan menjadi 0.

3. Hitung bn:

bn = (1/π) ∫₋π⁺π f(x) sin(nx) dx = (2/π) ∫₀⁺π (-1) sin(nx) dx  = (2/π) [cos(nx)/n]₀⁺π

Jika n genap, bn = 0. Jika n ganjil, bn = -4/(nπ).

Oleh karena itu, deret Fourier untuk fungsi ini adalah:

f(x) = Σ [-4/(nπ) sin(nx)] (n=1,3,5,... )

Contoh Soal 2: Fungsi Segitiga

Soal: Tentukan deret Fourier untuk fungsi segitiga dengan periode 2π, didefinisikan sebagai:

f(x) = |x|, -π ≤ x ≤ π

Solusi:

1. Hitung a₀:

a₀ = (1/π) ∫₋π⁺π |x| dx = 2π/π = 2

2. Hitung an: Karena fungsi genap (f(-x) = f(x)), bn = 0 untuk semua n.

3. Hitung an:

an = (2/π) ∫₀⁺π x cos(nx) dx = (2/π) [(x sin(nx)/n) + (cos(nx)/n²) ]₀⁺π

Jika n ganjil, an = -4/(n²π). Jika n genap, an = 0.

Jadi, deret Fourier-nya adalah:

f(x) = 1 + Σ [-4/(n²π) cos(nx)] (n=1,3,5,... )

Kesimpulan

Contoh-contoh ini mendemonstrasikan bagaimana menghitung deret Fourier untuk berbagai fungsi periodik. Ingatlah bahwa langkah-langkah penting mencakup menentukan koefisien a₀, an, dan bn melalui integrasi. Pengetahuan yang baik tentang kalkulus integral sangat penting untuk menyelesaikan masalah-masalah tersebut. Latihan lebih lanjut dan pemahaman yang mendalam tentang sifat-sifat fungsi genap dan ganjil akan sangat membantu dalam menyederhanakan perhitungan. Semoga postingan blog ini membantu Anda memahami deret Fourier dengan lebih baik!