Contoh Soal Linear Programming Beserta Solusinya

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 21, 2025

48

Share

Contoh Soal Linear Programming Beserta Solusinya: Panduan Lengkap

Linear programming (LP) adalah teknik matematika yang digunakan untuk mengoptimalkan fungsi objektif linier, dengan adanya kendala linier. Teknik ini sangat berguna dalam berbagai bidang, seperti manajemen operasi, ekonomi, dan teknik. Artikel ini akan memberikan beberapa contoh soal linear programming beserta solusinya, dilengkapi dengan penjelasan langkah demi langkah agar Anda dapat memahami konsep ini dengan lebih baik.

Memahami Konsep Dasar Linear Programming

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita ulas kembali konsep-konsep dasar linear programming:

• Fungsi Objektif: Ini adalah fungsi yang ingin kita maksimalkan atau minimalkan. Biasanya dinyatakan dalam bentuk persamaan linier, misalnya Z = 2x + 3y.

• Kendala: Ini adalah batasan-batasan yang membatasi nilai variabel. Kendala dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linier, misalnya x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0.

• Variabel Keputusan: Ini adalah variabel yang nilainya kita cari untuk mengoptimalkan fungsi objektif. Dalam contoh di atas, x dan y adalah variabel keputusan.

• Metode Solusi: Ada beberapa metode untuk menyelesaikan masalah linear programming, antara lain metode grafik dan metode Simpleks. Metode grafik lebih mudah dipahami untuk masalah dengan dua variabel, sedangkan metode Simpleks lebih cocok untuk masalah dengan lebih banyak variabel.

Contoh Soal Linear Programming dan Solusinya

Berikut beberapa contoh soal linear programming beserta penyelesaiannya menggunakan metode grafik:

Contoh 1: Masalah Produksi

Sebuah pabrik memproduksi dua jenis produk, A dan B. Produk A membutuhkan 2 jam waktu mesin dan 1 jam waktu tenaga kerja per unit, sedangkan produk B membutuhkan 1 jam waktu mesin dan 2 jam waktu tenaga kerja per unit. Waktu mesin yang tersedia adalah 12 jam per hari, dan waktu tenaga kerja yang tersedia adalah 10 jam per hari. Keuntungan per unit produk A adalah Rp 5.000 dan per unit produk B adalah Rp 4.000. Berapa banyak unit produk A dan B yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan?

Penyelesaian:

1. Definisikan variabel keputusan:

   • x: jumlah unit produk A
   • y: jumlah unit produk B

2. Tentukan fungsi objektif: Kita ingin memaksimalkan keuntungan, jadi fungsi objektifnya adalah: Z = 5000x + 4000y

3. Tentukan kendala:

   • Kendala waktu mesin: 2x + y ≤ 12
   • Kendala waktu tenaga kerja: x + 2y ≤ 10
   • Kendala non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0

4. Gambarkan kendala pada grafik: Buat grafik dari pertidaksamaan-pertidaksamaan kendala. Daerah yang memenuhi semua kendala disebut daerah feasible.

5. Tentukan titik pojok daerah feasible: Titik-titik pojok daerah feasible adalah (0, 0), (0, 5), (6, 0), dan (4, 3).

6. Hitung nilai fungsi objektif pada setiap titik pojok:

   • (0, 0): Z = 0
   • (0, 5): Z = 20000
   • (6, 0): Z = 30000
   • (4, 3): Z = 32000

7. Kesimpulan: Keuntungan maksimum tercapai ketika diproduksi 4 unit produk A dan 3 unit produk B, dengan keuntungan total Rp 32.000.

Contoh 2: Masalah Investasi

Seorang investor memiliki Rp 100.000.000 untuk diinvestasikan dalam dua jenis investasi, A dan B. Investasi A memberikan keuntungan 10% per tahun, dan investasi B memberikan keuntungan 15% per tahun. Investor ingin setidaknya 60% dari investasinya diinvestasikan dalam investasi A. Berapa banyak uang yang harus diinvestasikan dalam setiap jenis investasi untuk memaksimalkan keuntungan?

(Penyelesaian untuk contoh kedua ini akan mengikuti langkah-langkah yang serupa seperti contoh pertama, hanya mengganti nilai dan kendala sesuai dengan soal.)

Tips dan Trik dalam Mempelajari Linear Programming

• Latihan: Praktek adalah kunci untuk menguasai linear programming. Cobalah selesaikan berbagai soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
• Visualisasi: Menggunakan grafik sangat membantu dalam memahami masalah dan solusi.
• Software: Ada banyak software yang dapat membantu menyelesaikan masalah linear programming, seperti Excel Solver atau software khusus linear programming.

Dengan memahami konsep dasar dan mempraktekkan contoh-contoh soal di atas, Anda akan dapat menguasai linear programming dan menerapkannya dalam berbagai situasi. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan dalam mempelajari linear programming adalah latihan dan pemahaman yang mendalam terhadap konsep-konsep dasarnya.