Contoh Soal Nonlinear Programming Teknik Solusi

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 08, 2025

47

Share

Contoh Soal Nonlinear Programming dan Teknik Solusinya

Nonlinear programming adalah cabang optimasi matematika yang berfokus pada pengoptimalan fungsi objektif nonlinier dengan kendala nonlinier. Berbeda dengan programming linier, masalah nonlinear programming jauh lebih kompleks dan seringkali membutuhkan teknik numerik untuk menemukan solusinya. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal nonlinear programming beserta teknik solusi yang relevan.

Contoh Soal 1: Minimisasi Fungsi Kuadratik dengan Kendala Nonlinier

Soal: Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif:

f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 5

dengan kendala:

g(x, y) = x² + y ≤ 4

Teknik Solusi: Salah satu pendekatan yang efektif untuk permasalahan ini adalah metode Lagrange multiplier. Metode ini memperkenalkan pengali Lagrange (λ) untuk setiap kendala dan membentuk fungsi Lagrangean:

L(x, y, λ) = x² + y² - 2x - 4y + 5 + λ(x² + y - 4)

Selanjutnya, kita cari titik stasioner dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut:

∂L/∂x = 0 ∂L/∂y = 0 ∂L/∂λ = 0

Setelah menyelesaikan sistem persamaan ini, kita akan mendapatkan beberapa titik kandidat. Nilai fungsi objektif di setiap titik kandidat kemudian dibandingkan untuk menentukan titik minimum yang sebenarnya. Ingat untuk memeriksa apakah titik kandidat memenuhi kendala yang diberikan. Metode numerik seperti algoritma Newton-Raphson juga dapat digunakan jika penyelesaian analitik sulit diperoleh.

Contoh Soal 2: Maksimilisasi Fungsi dengan Kendala Kekangan

Soal: Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif:

f(x, y) = xy

dengan kendala:

x + y ≤ 1 x ≥ 0 y ≥ 0

Teknik Solusi: Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan metode grafik. Karena kendala berbentuk linier, kita dapat menggambarkan daerah feasible (daerah yang memenuhi semua kendala) pada bidang xy. Kemudian, kita evaluasi fungsi objektif pada titik-titik sudut daerah feasible dan di sepanjang garis batas. Titik yang menghasilkan nilai fungsi objektif maksimum merupakan solusi optimal. Metode Simplex juga bisa digunakan untuk kasus yang lebih kompleks dengan banyak variabel dan kendala.

Contoh Soal 3: Minimisasi Fungsi Non-Konveks

Soal: Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif:

f(x) = x⁴ - 4x² + 5

Teknik Solusi: Fungsi ini non-konveks, artinya memiliki beberapa titik stasioner (titik kritis). Untuk menemukan minimum global, diperlukan metode numerik seperti algoritma pencarian garis (line search), algoritma gradient descent, atau algoritma Quasi-Newton. Algoritma ini iteratif dan secara bertahap mendekati solusi optimal. Pemilihan algoritma yang tepat tergantung pada karakteristik fungsi objektif dan kendala.

Kesimpulan

Nonlinear programming merupakan bidang yang kompleks dan menuntut pemahaman yang kuat tentang berbagai teknik numerik dan analitik. Pemilihan teknik solusi yang tepat sangat bergantung pada karakteristik permasalahan yang dihadapi. Pemahaman yang baik tentang konsep konveksitas, optimalitas lokal dan global sangat penting dalam menemukan solusi optimal. Studi lebih lanjut tentang metode numerik seperti algoritma gradient descent, Newton-Raphson, dan algoritma Simplex sangat disarankan untuk mampu menangani masalah nonlinear programming yang lebih menantang. Praktik dan latihan soal-soal yang beragam sangat penting untuk meningkatkan pemahaman dan kemampuan dalam menyelesaikan masalah nonlinear programming.