Contoh Soal Persamaan Diferensial Dua Linear Dan Homogen Solusi Umum

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 24, 2025

68

Share

Contoh Soal Persamaan Diferensial Linear Dua Orde dan Homogen: Solusi Umum

Persamaan diferensial linear orde dua homogen merupakan topik penting dalam kalkulus dan memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, dan ekonomi. Memahami cara menyelesaikan persamaan ini sangat krusial untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks. Artikel ini akan memberikan contoh soal dan solusi umum untuk persamaan diferensial linear orde dua homogen, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah.

Memahami Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Homogen

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita definisikan persamaan diferensial linear orde dua homogen. Persamaan ini memiliki bentuk umum:

a y'' + b y' + c y = 0

di mana:

• y'' adalah turunan kedua y terhadap x
• y' adalah turunan pertama y terhadap x
• y adalah fungsi yang ingin kita cari
• a, b, dan c adalah konstanta, dengan a ≠ 0.

Perhatikan bahwa persamaan tersebut disebut homogen karena ruas kanan persamaan sama dengan nol.

Metode Penyelesaian: Persamaan Karakteristik

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua homogen adalah dengan menggunakan persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik diperoleh dengan mengganti y'' dengan m², y' dengan m, dan y dengan 1 dalam persamaan diferensial. Ini menghasilkan persamaan kuadrat:

a m² + b m + c = 0

Solusi persamaan kuadrat ini (nilai-nilai m) akan menentukan bentuk solusi umum persamaan diferensial. Ada tiga kemungkinan kasus:

1. Dua Akar Real Berbeda (m₁ ≠ m₂):

Dalam kasus ini, solusi umum diberikan oleh:

y(x) = C₁e^(m₁x) + C₂e^(m₂x)

di mana C₁ dan C₂ adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi batas.

2. Dua Akar Real Kembar (m₁ = m₂ = m):

Dalam kasus ini, solusi umum diberikan oleh:

y(x) = (C₁ + C₂x)e^(mx)

3. Dua Akar Kompleks Konjugat (m₁ = α + iβ, m₂ = α - iβ):

Dalam kasus ini, solusi umum diberikan oleh:

y(x) = e^(αx)[C₁cos(βx) + C₂sin(βx)]

Contoh Soal dan Penyelesaian

Mari kita selesaikan persamaan diferensial berikut:

y'' - 5y' + 6y = 0

Langkah 1: Tentukan Persamaan Karakteristik

Persamaan karakteristiknya adalah:

m² - 5m + 6 = 0

Langkah 2: Selesaikan Persamaan Kuadrat

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat di atas menjadi:

(m - 2)(m - 3) = 0

Oleh karena itu, akar-akarnya adalah m₁ = 2 dan m₂ = 3. Karena akar-akarnya real dan berbeda, kita menggunakan kasus pertama.

Langkah 3: Tulis Solusi Umum

Solusi umum persamaan diferensial adalah:

y(x) = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)

di mana C₁ dan C₂ adalah konstanta yang akan ditentukan jika diberikan kondisi batas (misalnya, nilai y(0) dan y'(0)).

Contoh Soal Lain dan Variasi

Berikut beberapa variasi soal yang dapat Anda coba selesaikan menggunakan metode yang sama:

• y'' + 4y' + 4y = 0 (akar kembar)
• y'' + 2y' + 5y = 0 (akar kompleks konjugat)

Dengan memahami konsep dan langkah-langkah di atas, Anda dapat menyelesaikan berbagai persamaan diferensial linear orde dua homogen. Ingatlah untuk selalu menentukan jenis akar persamaan karakteristik untuk menentukan bentuk solusi umum yang tepat. Prakteklah dengan berbagai soal untuk meningkatkan pemahaman dan kemampuan Anda. Selamat mencoba!