Contoh Soal Solusi Dari Persamaan Satu Variable Metode Numerik

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 12, 2025

62

Share

Contoh Soal dan Solusi Persamaan Satu Variabel Metode Numerik

Persamaan satu variabel seringkali sulit, bahkan tidak mungkin, untuk diselesaikan secara analitik. Metode numerik menawarkan solusi alternatif yang efektif untuk mencari aproksimasi akar persamaan tersebut. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan solusi persamaan satu variabel menggunakan metode numerik, khususnya metode iterasi titik tetap dan metode Newton-Raphson.

Metode Iterasi Titik Tetap

Metode iterasi titik tetap didasarkan pada prinsip mengubah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x). Solusi kemudian didekati melalui iterasi: x_(n+1) = g(x_n), dengan x_0 sebagai tebakan awal. Konvergensi metode ini bergantung pada pemilihan fungsi g(x) dan tebakan awal.

Contoh Soal 1:

Temukan akar persamaan x³ - x - 2 = 0 menggunakan metode iterasi titik tetap dengan tebakan awal x_0 = 1.5.

Solusi:

1. Ubah persamaan: Kita bisa menulis ulang persamaan sebagai x = x³ - 2. Dalam hal ini, g(x) = x³ - 2.

2. Iterasi: Kita akan melakukan beberapa iterasi:

   • x_1 = g(x_0) = (1.5)³ - 2 = 1.375
   • x_2 = g(x_1) = (1.375)³ - 2 ≈ 1.26
   • x_3 = g(x_2) = (1.26)³ - 2 ≈ 1.19
   • ...dan seterusnya.

3. Konvergensi: Kita terus melakukan iterasi hingga selisih antara dua iterasi berturut-turut cukup kecil (misalnya, kurang dari 0.001), menandakan konvergensi ke akar. Dalam kasus ini, akar aproksimasinya mendekati 1.521.

Penting: Pemilihan fungsi g(x) sangat krusial. Tidak semua bentuk g(x) akan menghasilkan konvergensi.

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson merupakan metode numerik yang lebih cepat konvergen dibandingkan metode iterasi titik tetap. Rumusnya diberikan oleh:

x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

dimana f'(x_n) adalah turunan pertama dari f(x) di titik x_n.

Contoh Soal 2:

Temukan akar persamaan x² - 4x + 3 = 0 menggunakan metode Newton-Raphson dengan tebakan awal x_0 = 0.

Solusi:

1. Turunan: Turunan pertama dari f(x) = x² - 4x + 3 adalah f'(x) = 2x - 4.

2. Iterasi:

   • x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0) = 0 - (0² - 4(0) + 3) / (2(0) - 4) = 0.75
   • x_2 = x_1 - f(x_1) / f'(x_1) ≈ 0.96875
   • x_3 = x_2 - f(x_2) / f'(x_2) ≈ 0.9990
   • ...dan seterusnya.

3. Konvergensi: Setelah beberapa iterasi, nilai akan konvergen ke salah satu akar persamaan, dalam hal ini mendekati 1.

Kesimpulan:

Metode iterasi titik tetap dan Newton-Raphson adalah dua dari sekian banyak metode numerik untuk menyelesaikan persamaan satu variabel. Pemilihan metode dan tebakan awal yang tepat sangat penting untuk mencapai konvergensi dan memperoleh solusi yang akurat. Penggunaan software atau kalkulator dapat membantu dalam perhitungan iterasi yang lebih kompleks. Memahami konsep dasar dan penerapan kedua metode ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika dan rekayasa.