Contoh Soal Solusi Eksplisit Dan Penyelesaiannya

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 10, 2025

48

Share

Contoh Soal Solusi Eksplisit dan Penyelesaiannya

Persamaan diferensial merupakan persamaan matematika yang melibatkan fungsi dan turunannya. Menemukan solusi eksplisit untuk persamaan diferensial berarti menemukan fungsi yang memenuhi persamaan tersebut. Proses ini bisa rumit, tetapi dengan latihan dan pemahaman konsep, Anda akan bisa menguasainya. Artikel ini akan memberikan beberapa contoh soal solusi eksplisit dan penyelesaiannya, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah. Tujuannya agar Anda bisa memahami konsep ini dengan lebih baik dan mampu menyelesaikan soal-soal serupa di masa mendatang.

Apa itu Solusi Eksplisit?

Sebelum kita membahas contoh soal, mari kita definisikan apa itu solusi eksplisit. Solusi eksplisit dari persamaan diferensial adalah suatu fungsi y = f(x) yang secara langsung menyatakan variabel terikat (y) sebagai fungsi dari variabel bebas (x). Artinya, kita bisa langsung substitusikan nilai x untuk mendapatkan nilai y tanpa perlu menyelesaikan persamaan lagi. Berbeda dengan solusi implisit, yang menyatakan hubungan antara x dan y tanpa menyatakan y secara eksplisit sebagai fungsi x.

Contoh Soal 1: Persamaan Diferensial Orde Pertama yang Sederhana

Soal: Temukan solusi eksplisit dari persamaan diferensial dy/dx = 2x.

Penyelesaian:

1. Pisahkan variabel: Kita pisahkan variabel x dan y pada sisi yang berbeda: dy = 2x dx

2. Integrasikan kedua ruas: ∫dy = ∫2x dx

3. Selesaikan integral: y = x² + C, di mana C adalah konstanta integrasi.

Jadi, solusi eksplisit dari persamaan diferensial dy/dx = 2x adalah y = x² + C. Konstanta C menunjukkan adanya keluarga solusi, karena nilai C yang berbeda akan menghasilkan kurva solusi yang berbeda.

Contoh Soal 2: Persamaan Diferensial Orde Pertama yang Lebih Kompleks

Soal: Temukan solusi eksplisit dari persamaan diferensial dy/dx = x/y

Penyelesaian:

1. Pisahkan variabel: y dy = x dx

2. Integrasikan kedua ruas: ∫y dy = ∫x dx

3. Selesaikan integral: (1/2)y² = (1/2)x² + C

4. Selesaikan untuk y: y² = x² + 2C. Kita bisa menulis 2C sebagai konstanta baru, misalnya K. Maka y² = x² + K.

5. Ekspresikan y secara eksplisit: y = ±√(x² + K)

Jadi, solusi eksplisit dari persamaan diferensial dy/dx = x/y adalah y = ±√(x² + K). Perhatikan tanda plus-minus menunjukkan dua keluarga solusi.

Contoh Soal 3: Persamaan Diferensial dengan Kondisi Awal

Soal: Temukan solusi eksplisit dari persamaan diferensial dy/dx = 2x dengan kondisi awal y(0) = 1.

Penyelesaian:

1. Selesaikan persamaan diferensial: Seperti pada Contoh Soal 1, solusi umum adalah y = x² + C.

2. Gunakan kondisi awal: Substitusikan x = 0 dan y = 1 ke dalam solusi umum: 1 = 0² + C. Ini memberikan C = 1.

3. Tulis solusi partikular: Dengan C = 1, solusi eksplisit dengan kondisi awal tersebut adalah y = x² + 1.

Jadi, solusi eksplisit dari persamaan diferensial dy/dx = 2x dengan kondisi awal y(0) = 1 adalah y = x² + 1.

Kesimpulan

Menemukan solusi eksplisit untuk persamaan diferensial membutuhkan pemahaman yang kuat tentang kalkulus integral. Melalui contoh-contoh soal di atas, diharapkan Anda dapat memahami langkah-langkah penyelesaian dan mampu menerapkannya pada soal-soal yang lebih kompleks. Ingatlah untuk selalu memperhatikan konstanta integrasi dan menggunakan kondisi awal jika diberikan untuk mendapatkan solusi partikular yang unik. Praktek terus menerus adalah kunci untuk menguasai topik ini.