Contoh Soal Solusi Khusus Persamaan Diferensial

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 18, 2025

47

Share

Contoh Soal dan Solusi Khusus Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang melibatkan fungsi dan turunannya. Menemukan solusi khusus persamaan diferensial berarti menemukan fungsi yang memenuhi persamaan dan juga memenuhi kondisi awal tertentu. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan solusi khusus untuk berbagai jenis persamaan diferensial, membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.

Jenis-jenis Persamaan Diferensial

Sebelum kita membahas contoh soal, mari kita ingat kembali beberapa jenis persamaan diferensial yang umum:

• Persamaan Diferensial Biasa (PDB): Melibatkan fungsi satu variabel bebas dan turunannya.
• Persamaan Diferensial Parsial (PDP): Melibatkan fungsi beberapa variabel bebas dan turunan parsialnya.
• Orde Persamaan Diferensial: Orde tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan.
• Derajat Persamaan Diferensial: Pangkat tertinggi dari turunan orde tertinggi dalam persamaan.

Kita akan fokus pada PDB orde pertama dalam contoh-contoh berikut.

Contoh Soal 1: Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Soal: Temukan solusi khusus persamaan diferensial dy/dx = 2x dengan kondisi awal y(0) = 1.

Solusi:

1. Pisahkan variabel: dy = 2x dx
2. Integrasikan kedua ruas: ∫dy = ∫2x dx
3. Selesaikan integral: y = x² + C di mana C adalah konstanta integrasi.
4. Gunakan kondisi awal: Substitusikan x = 0 dan y = 1 ke dalam solusi umum: 1 = 0² + C, sehingga C = 1.
5. Solusi khusus: y = x² + 1

Kesimpulan: Solusi khusus persamaan diferensial dy/dx = 2x dengan kondisi awal y(0) = 1 adalah y = x² + 1.

Contoh Soal 2: Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama

Soal: Temukan solusi khusus persamaan diferensial dy/dx + y = x dengan kondisi awal y(0) = 2.

Solusi:

Persamaan ini merupakan persamaan diferensial linear orde pertama. Metode penyelesaian yang umum digunakan adalah metode faktor integral.

1. Temukan faktor integral: Faktor integral adalah e^∫dx = e^x.
2. Kalikan persamaan dengan faktor integral: e^x dy/dx + e^x y = xe^x
3. Sederhanakan: d/dx (ye^x) = xe^x
4. Integrasikan kedua ruas: ∫d/dx (ye^x) dx = ∫xe^x dx
5. Selesaikan integral: ye^x = xe^x - e^x + C
6. Selesaikan untuk y: y = x - 1 + Ce^(-x)
7. Gunakan kondisi awal: Substitusikan x = 0 dan y = 2: 2 = 0 - 1 + C, sehingga C = 3.
8. Solusi khusus: y = x - 1 + 3e^(-x)

Kesimpulan: Solusi khusus persamaan diferensial dy/dx + y = x dengan kondisi awal y(0) = 2 adalah y = x - 1 + 3e^(-x).

Contoh Soal 3: Persamaan Diferensial Homogen

Soal: Temukan solusi khusus persamaan diferensial dy/dx = (x + y) / x dengan kondisi awal y(1) = 1.

Solusi:

Persamaan ini adalah persamaan homogen. Kita bisa menyelesaikannya dengan substitusi v = y/x.

1. Substitusi: y = vx, sehingga dy/dx = v + x dv/dx.
2. Substitusikan ke persamaan: v + x dv/dx = (x + vx) / x = 1 + v.
3. Sederhanakan: x dv/dx = 1.
4. Pisahkan variabel dan integral: dv = dx/x.
5. Selesaikan integral: v = ln|x| + C.
6. Substitusikan kembali v: y/x = ln|x| + C.
7. Selesaikan untuk y: y = x ln|x| + Cx.
8. Gunakan kondisi awal: Substitusikan x = 1 dan y = 1: 1 = 0 + C, sehingga C = 1.
9. Solusi khusus: y = x ln|x| + x.

Kesimpulan: Solusi khusus persamaan diferensial dy/dx = (x + y) / x dengan kondisi awal y(1) = 1 adalah y = x ln|x| + x.

Kesimpulan

Menemukan solusi khusus persamaan diferensial memerlukan pemahaman yang baik tentang berbagai metode penyelesaian. Contoh-contoh di atas memberikan gambaran dasar tentang bagaimana menyelesaikan beberapa jenis persamaan diferensial dan menemukan solusi khusus yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Ingatlah untuk selalu memeriksa kembali solusi Anda dengan mendiferensiasikannya dan memastikan bahwa ia memenuhi persamaan diferensial aslinya dan kondisi awal. Praktik lebih lanjut akan sangat membantu dalam menguasai topik ini.