Contoh Soal dan Solusi Persamaan Linier Tiga Variabel
Persamaan linier tiga variabel merupakan persamaan matematika yang melibatkan tiga variabel dengan pangkat tertinggi satu. Memahami cara menyelesaikan persamaan ini sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, dan ilmu komputer. Artikel ini akan memberikan contoh soal dan solusi lengkap untuk membantu Anda menguasai konsep ini.
Metode Eliminasi dan Substitusi
Metode paling umum untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel adalah metode eliminasi dan substitusi. Metode ini melibatkan pengurangan variabel secara bertahap hingga kita mendapatkan nilai untuk satu variabel, lalu mensubstitusikan nilai tersebut untuk mencari nilai variabel lainnya.
Contoh Soal 1:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
- x + y + z = 6
- 2x - y + z = 3
- x + 2y - z = 3
Solusi:
-
Eliminasi Variabel: Kita akan menghilangkan variabel 'z' terlebih dahulu. Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga:
- (2x - y + z) - (x + y + z) = 3 - 6 => x - 2y = -3 (Persamaan 4)
- (x + 2y - z) - (x + y + z) = 3 - 6 => y - 2z = -3 (Persamaan 5)
-
Eliminasi Variabel Lagi: Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (x dan y, dan y dan z). Kita bisa menyelesaikan persamaan 4 untuk x:
- x = 2y - 3
-
Substitusi: Substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan pertama (x + y + z = 6):
- (2y - 3) + y + z = 6
- 3y + z = 9 (Persamaan 6)
-
Selesaikan Sistem Dua Variabel: Sekarang kita punya persamaan 5 (y - 2z = -3) dan persamaan 6 (3y + z = 9). Kita bisa menggunakan eliminasi atau substitusi lagi. Misalnya, kalikan persamaan 5 dengan 3:
- 3y - 6z = -9
Kurangi hasil ini dari persamaan 6:
- (3y + z) - (3y - 6z) = 9 - (-9)
- 7z = 18
- z = 18/7
-
Substitusi Balik: Substitusikan nilai z ke dalam persamaan 5 untuk mencari y:
- y - 2(18/7) = -3
- y = 15/7
-
Substitusi Balik Lagi: Substitusikan nilai y ke dalam persamaan 4 untuk mencari x:
- x = 2(15/7) - 3
- x = 9/7
Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 9/7, y = 15/7, dan z = 18/7.
Tips dan Trik
- Organisasi: Tuliskan persamaan dengan rapi dan teratur untuk menghindari kesalahan.
- Periksa Jawaban: Setelah menemukan solusi, selalu periksa apakah solusi tersebut memenuhi semua persamaan awal.
- Metode Alternatif: Metode matriks juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel, khususnya jika Anda terbiasa dengan aljabar linear.
Kesimpulan
Memecahkan persamaan linier tiga variabel membutuhkan pemahaman yang kuat tentang metode eliminasi dan substitusi. Dengan latihan yang cukup dan mengikuti langkah-langkah di atas, Anda akan mampu menyelesaikan berbagai jenis soal persamaan linier tiga variabel dengan percaya diri. Ingatlah untuk selalu memeriksa jawaban Anda untuk memastikan keakuratannya. Semoga contoh soal dan solusi di atas bermanfaat!
