Contoh Soal dan Solusi Persamaan Rekursif Linear Homogen
Persamaan rekursif linear homogen merupakan suatu persamaan yang menghubungkan suatu suku dalam barisan dengan suku-suku sebelumnya dalam barisan yang sama. Memahami dan menyelesaikan persamaan ini sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk matematika diskrit, ilmu komputer, dan statistika. Artikel ini akan memberikan contoh soal dan solusi lengkap untuk membantu Anda memahami konsep ini lebih baik.
Memahami Persamaan Rekursif Linear Homogen
Secara umum, persamaan rekursif linear homogen orde-k dapat ditulis sebagai:
a<sub>n</sub> = c<sub>1</sub>a<sub>n-1</sub> + c<sub>2</sub>a<sub>n-2</sub> + ... + c<sub>k</sub>a<sub>n-k</sub>
di mana:
- a<sub>n</sub> adalah suku ke-n dalam barisan.
- c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, ..., c<sub>k</sub> adalah konstanta.
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mencari persamaan karakteristik dengan mengganti a<sub>n</sub> dengan r<sup>n</sup>. Setelah menemukan akar-akar persamaan karakteristik, kita dapat menentukan solusi umum persamaan rekursif.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Mari kita selesaikan beberapa contoh soal:
Contoh 1: Persamaan Rekursif Orde 2
Soal: Tentukan solusi umum dari persamaan rekursif berikut:
a<sub>n</sub> = 5a<sub>n-1</sub> - 6a<sub>n-2</sub>, dengan a<sub>0</sub> = 1 dan a<sub>1</sub> = 4.
Penyelesaian:
- Tentukan Persamaan Karakteristik: Ganti a<sub>n</sub> dengan r<sup>n</sup>:
r<sup>2</sup> = 5r - 6
r<sup>2</sup> - 5r + 6 = 0
- Cari Akar-akar Persamaan Karakteristik: Faktorkan persamaan kuadrat:
(r - 2)(r - 3) = 0
Akar-akarnya adalah r<sub>1</sub> = 2 dan r<sub>2</sub> = 3.
- Tentukan Solusi Umum: Karena akar-akarnya berbeda, solusi umum adalah:
a<sub>n</sub> = A(2)<sup>n</sup> + B(3)<sup>n</sup>
di mana A dan B adalah konstanta.
- Tentukan Nilai A dan B: Gunakan kondisi awal a<sub>0</sub> = 1 dan a<sub>1</sub> = 4:
a<sub>0</sub> = A(2)<sup>0</sup> + B(3)<sup>0</sup> = A + B = 1
a<sub>1</sub> = A(2)<sup>1</sup> + B(3)<sup>1</sup> = 2A + 3B = 4
Selesaikan sistem persamaan linear ini untuk mendapatkan A = -1 dan B = 2.
- Solusi Akhir: Solusi umum dari persamaan rekursif adalah:
a<sub>n</sub> = -1(2)<sup>n</sup> + 2(3)<sup>n</sup>
Contoh 2: Persamaan Rekursif dengan Akar Kembar
Soal: Tentukan solusi umum dari persamaan rekursif berikut:
a<sub>n</sub> = 6a<sub>n-1</sub> - 9a<sub>n-2</sub>, dengan a<sub>0</sub> = 1 dan a<sub>1</sub> = 6.
Penyelesaian:
-
Persamaan Karakteristik: r<sup>2</sup> - 6r + 9 = 0
-
Akar-akar: (r - 3)<sup>2</sup> = 0 (akar kembar r = 3)
-
Solusi Umum (akar kembar): a<sub>n</sub> = (A + Bn)(3)<sup>n</sup>
-
Tentukan A dan B: Gunakan kondisi awal a<sub>0</sub> = 1 dan a<sub>1</sub> = 6. Anda akan mendapatkan A = 1 dan B = 1.
-
Solusi Akhir: a<sub>n</sub> = (1 + n)(3)<sup>n</sup>
Kesimpulan
Memahami cara menyelesaikan persamaan rekursif linear homogen sangat penting. Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, Anda dapat menyelesaikan berbagai jenis persamaan rekursif, baik yang memiliki akar berbeda maupun akar kembar. Praktek lebih lanjut akan meningkatkan pemahaman dan kemampuan Anda dalam menyelesaikan masalah-masalah yang lebih kompleks. Ingat untuk selalu memperhatikan kondisi awal yang diberikan dalam soal.
