Contoh Soal Solusi Sistem Persamaan Linear Dengan Homogen

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 12, 2025

57

Share

Contoh Soal dan Solusi Sistem Persamaan Linear Homogen

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear di mana konstanta pada setiap persamaan sama dengan nol. Memahami bagaimana menyelesaikan sistem ini penting dalam berbagai aplikasi matematika dan ilmu terapan. Artikel ini akan memberikan contoh soal dan solusi sistem persamaan linear homogen, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah.

Memahami Sistem Persamaan Linear Homogen

Sistem persamaan linear homogen memiliki bentuk umum seperti ini:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁nxn = 0
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂nxn = 0
...
am₁x₁ + am₂x₂ + ... + amnxn = 0

di mana aᵢⱼ adalah konstanta dan xᵢ adalah variabel. Perhatikan bahwa sisi kanan setiap persamaan selalu nol. Salah satu solusi trivial dari sistem ini selalu x₁ = x₂ = ... = xn = 0. Namun, sistem ini mungkin juga memiliki solusi non-trivial.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Mari kita lihat contoh soal dan penyelesaiannya langkah demi langkah:

Soal 1:

Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut:

2x + 3y = 0
x - y = 0

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan metode eliminasi:

1. Kalikan persamaan kedua dengan 2: 2x - 2y = 0
2. Kurangi persamaan pertama dengan hasil langkah 1: (2x + 3y) - (2x - 2y) = 0 - 0 => 5y = 0 => y = 0
3. Substitusikan y = 0 ke salah satu persamaan awal (misalnya, x - y = 0): x - 0 = 0 => x = 0

Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah x = 0 dan y = 0. Ini adalah solusi trivial.

Soal 2:

Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut:

x + 2y - z = 0
2x - y + 3z = 0
x + y + 2z = 0

Penyelesaian:

Sistem ini lebih kompleks dan membutuhkan metode yang lebih sistematis, seperti metode eliminasi Gauss-Jordan atau matriks. Namun, untuk keperluan penjelasan sederhana, kita akan menggunakan metode eliminasi.

1. Eliminasi x dari persamaan kedua dan ketiga: Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga. Hasilnya: -5y + 4z = 0 -y + z = 0
2. Dari -y + z = 0, kita dapatkan y = z.
3. Substitusikan y = z ke -5y + 4z = 0: -5z + 4z = 0 => -z = 0 => z = 0
4. Karena y = z, maka y = 0.
5. Substitusikan y = 0 dan z = 0 ke persamaan pertama (x + 2y - z = 0): x + 2(0) - 0 = 0 => x = 0

Sekali lagi, kita mendapatkan solusi trivial x = 0, y = 0, z = 0.

Catatan: Tidak semua sistem persamaan linear homogen hanya memiliki solusi trivial. Sistem dengan lebih banyak variabel daripada persamaan cenderung memiliki solusi non-trivial. Untuk mencari solusi non-trivial, perlu menggunakan metode yang lebih canggih seperti metode matriks.

Kesimpulan

Pemahaman tentang sistem persamaan linear homogen sangat penting. Meskipun solusi trivial (semua variabel sama dengan nol) selalu ada, sistem dapat memiliki solusi non-trivial yang perlu diidentifikasi menggunakan teknik aljabar linear yang lebih kompleks. Contoh-contoh di atas memberikan pemahaman dasar tentang bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linear homogen yang sederhana. Untuk sistem yang lebih rumit, pelajari metode matriks seperti eliminasi Gauss-Jordan.