Contoh Soal SPL Hanya Mempunyai Solusi Trivial
Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat memiliki berbagai jenis solusi, termasuk solusi trivial dan non-trivial. Solusi trivial adalah solusi di mana semua variabel bernilai nol. Artikel ini akan membahas contoh soal SPL yang hanya memiliki solusi trivial dan bagaimana cara menentukannya.
Memahami Solusi Trivial dan Non-Trivial
Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita pahami dulu perbedaan antara solusi trivial dan non-trivial.
-
Solusi Trivial: Dalam sebuah SPL, solusi trivial adalah ketika semua variabelnya bernilai nol (x=0, y=0, z=0, dan seterusnya).
-
Solusi Non-Trivial: Solusi non-trivial adalah ketika setidaknya satu variabel memiliki nilai yang tidak nol.
Contoh Soal SPL dengan Solusi Trivial
Berikut adalah contoh soal SPL homogen yang hanya memiliki solusi trivial:
Soal 1:
Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut:
2x + 3y = 0
4x + 6y = 0
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa persamaan kedua merupakan kelipatan dari persamaan pertama (kalikan persamaan pertama dengan 2). Ini menunjukkan bahwa kedua persamaan sebenarnya merepresentasikan garis yang sama. Satu-satunya titik yang memenuhi kedua persamaan adalah (0, 0).
Oleh karena itu, solusi trivial x = 0 dan y = 0 adalah satu-satunya solusi.
Soal 2:
Sistem persamaan linear berikut:
x + 2y - z = 0
2x - y + 3z = 0
3x + y + 2z = 0
Penyelesaian:
Sistem persamaan ini lebih kompleks. Untuk menyelesaikannya, kita bisa menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau metode substitusi. Namun, dengan melihat persamaan, kita dapat mengamati bahwa jika kita substitusikan x=0, y=0, dan z=0, maka semua persamaan akan terpenuhi. Setelah melakukan eliminasi atau substitusi, kita akan menemukan bahwa hanya solusi trivial (x=0, y=0, z=0) yang memenuhi sistem persamaan ini.
Cara Menentukan Apakah SPL Hanya Mempunyai Solusi Trivial
Ada beberapa cara untuk menentukan apakah sebuah SPL homogen hanya memiliki solusi trivial:
-
Metode Eliminasi Gauss-Jordan: Metode ini digunakan untuk mereduksi matriks augmented menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Jika terdapat baris nol di dalam matriks koefisien, maka sistem persamaan memiliki solusi non-trivial. Jika tidak, maka hanya solusi trivial yang ada.
-
Menghitung Determinan: Untuk sistem persamaan linear dengan jumlah variabel dan persamaan yang sama, kita dapat menghitung determinan dari matriks koefisien. Jika determinan tidak sama dengan nol, maka hanya solusi trivial yang ada. Jika determinan sama dengan nol, maka ada solusi non-trivial.
-
Observasi Langsung: Dalam beberapa kasus, seperti contoh soal 1 di atas, kita dapat secara langsung mengamati bahwa persamaan saling bergantung dan hanya solusi trivial yang mungkin.
Kesimpulan
Menentukan apakah sebuah SPL hanya memiliki solusi trivial merupakan konsep penting dalam aljabar linear. Dengan memahami metode-metode yang dijelaskan di atas, kita dapat menganalisis dan menyelesaikan berbagai jenis SPL homogen dan menentukan jenis solusinya. Ingatlah untuk selalu memeriksa solusi Anda dan memastikan bahwa solusi tersebut memenuhi semua persamaan dalam sistem. Latihan dan pemahaman konsep yang baik akan sangat membantu dalam menguasai materi ini.
