Contoh Solusi Persamaan Linera Sherman-Morrison

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 27, 2025

47

Share

Berikut adalah artikel tentang resep lengkap tentang: Contoh Solusi Persamaan Linera Sherman-Morrison:

Resep Lengkap: Contoh Solusi Persamaan Linier Sherman-Morrison

Persamaan linier adalah tulang punggung banyak algoritma dalam sains komputasi, machine learning, dan berbagai bidang lainnya. Namun, menyelesaikan sistem persamaan linier berukuran besar bisa sangat mahal secara komputasi. Formula Sherman-Morrison menawarkan solusi elegan dan efisien untuk permasalahan ini, terutama ketika matriks yang terlibat hanya sedikit berbeda dari matriks yang inversnya sudah diketahui. Artikel ini akan memberikan resep lengkap beserta contoh untuk memahami dan menerapkan formula Sherman-Morrison.

Memahami Formula Sherman-Morrison

Formula Sherman-Morrison memberikan cara untuk menghitung invers dari matriks yang dimodifikasi dengan tambahan vektor luar. Lebih spesifiknya, jika kita memiliki matriks A yang inversnya telah diketahui (A⁻¹), dan kita ingin mencari invers dari matriks A + uvᵀ (di mana u dan v adalah vektor kolom), maka formula Sherman-Morrison memberikan solusi berikut:

(A + uvᵀ)⁻¹ = A⁻¹ - (A⁻¹u vᵀA⁻¹) / (1 + vᵀA⁻¹u)

Syarat penting: Persamaan ini hanya valid jika (1 + vᵀA⁻¹u) ≠ 0.

Resep Langkah demi Langkah

Berikut adalah resep langkah demi langkah untuk menerapkan formula Sherman-Morrison:

1. Identifikasi Matriks A, vektor u, dan vektor v. Langkah ini merupakan kunci dari keseluruhan proses. Pastikan anda dengan tepat mengidentifikasi matriks awal (A) dan vektor-vektor yang memodifikasinya (u dan v).

2. Hitung invers matriks A (A⁻¹). Anda membutuhkan invers matriks A untuk menerapkan formula. Jika ukuran matriks A relatif kecil, anda dapat menghitung invers ini secara manual atau menggunakan kalkulator matriks online. Untuk matriks yang lebih besar, gunakan library numerik seperti NumPy (Python) atau algoritma invers matriks yang efisien.

3. Hitung A⁻¹u dan vᵀA⁻¹. Kedua perhitungan ini merupakan langkah perantara yang diperlukan untuk menggantikan variabel dalam formula utama.

4. Hitung vᵀA⁻¹u. Ini adalah perkalian skalar yang akan digunakan dalam penyebut formula.

5. Hitung (A⁻¹u vᵀA⁻¹). Ini adalah perkalian matriks yang hasilnya akan dikurangi dari A⁻¹.

6. Terapkan Formula Sherman-Morrison. Gantikan semua nilai yang telah anda hitung ke dalam formula utama: (A + uvᵀ)⁻¹ = A⁻¹ - (A⁻¹u vᵀA⁻¹) / (1 + vᵀA⁻¹u).

7. Verifikasi Hasil. Sangat disarankan untuk memverifikasi hasil perhitungan anda dengan mengalikan matriks yang dihitung inversnya dengan matriks asalnya (A + uvᵀ). Hasilnya seharusnya mendekati matriks identitas (I).

Contoh Numerik

Mari kita terapkan formula ini pada contoh numerik sederhana.

Misalkan:

A = [[2, 1], [1, 2]]

u = [[1], [0]]

v = [[1], [1]]

1. Invers A: A⁻¹ = [[2/3, -1/3], [-1/3, 2/3]]

2. A⁻¹u = [[2/3], [-1/3]]

3. vᵀA⁻¹ = [1/3, 1/3]

4. vᵀA⁻¹u = 1/3

5. (A⁻¹u vᵀA⁻¹) = [[2/9, 2/9], [-1/9, -1/9]]

6. (A + uvᵀ)⁻¹ = [[2/3, -1/3], [-1/3, 2/3]] - [[2/9, 2/9], [-1/9, -1/9]] / (1 + 1/3) = [[4/9, -1/3], [-1/9, 7/9]]

Anda dapat memverifikasi hasil ini dengan mengalikan [[4/9, -1/3], [-1/9, 7/9]] dengan matriks [[3, 1], [1, 2]]. Hasil perkalian akan mendekati matriks identitas.

Kesimpulan

Formula Sherman-Morrison memberikan solusi yang efisien untuk menghitung invers matriks yang dimodifikasi. Dengan memahami langkah-langkah dan menerapkannya secara hati-hati, anda dapat memanfaatkan formula ini untuk mengatasi berbagai permasalahan dalam komputasi ilmiah dan rekayasa. Ingat selalu untuk memverifikasi hasil perhitungan anda untuk memastikan akurasi.