Contoh Splh Dan Tentukan Solusinya

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 05, 2025

34

Share

Contoh SPLH dan Tentukan Solusinya: Panduan Lengkap

Selamat datang! Artikel ini akan membahas Sistem Persamaan Linear Homogen (SPLH) dan memberikan contoh lengkap beserta penyelesaiannya. SPLH adalah sistem persamaan linear di mana semua konstanta sama dengan nol. Memahami cara menyelesaikan SPLH sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, dan ilmu komputer.

Apa itu Sistem Persamaan Linear Homogen (SPLH)?

SPLH adalah sistem persamaan linear yang berbentuk:

• a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = 0
• b₁x₁ + b₂x₂ + ... + bₙxₙ = 0
• ...
• c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ = 0

di mana aᵢ, bᵢ, cᵢ, ... adalah konstanta dan xᵢ adalah variabel. Perhatikan bahwa semua ruas kanan persamaan sama dengan nol.

Metode Penyelesaian SPLH

Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan SPLH, antara lain:

• Metode Eliminasi Gauss: Metode ini melibatkan operasi baris elementer pada matriks augmented sistem persamaan untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi.
• Metode Determinan: Metode ini menggunakan determinan matriks koefisien untuk menentukan solusi. Jika determinan matriks koefisien sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi tak trivial (solusi selain x₁ = x₂ = ... = xₙ = 0).
• Metode Substitusi: Metode ini melibatkan menyelesaikan satu variabel dari satu persamaan dan mensubstitusikannya ke persamaan lainnya.

Contoh SPLH dan Solusinya

Mari kita lihat contoh konkret. Misalkan kita punya SPLH berikut:

• 2x + 3y = 0
• x - y = 0

Metode Eliminasi Gauss:

1. Kita tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks augmented: [[2, 3, 0], [1, -1, 0]]
2. Kita lakukan operasi baris elementer untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi. Misalnya, kita bisa mengurangi baris pertama dengan dua kali baris kedua: [[0, 5, 0], [1, -1, 0]]
3. Dari sini, kita peroleh 5y = 0, sehingga y = 0.
4. Substitusikan y = 0 ke salah satu persamaan awal (misalnya, x - y = 0), kita peroleh x = 0.

Jadi, solusi SPLH ini adalah x = 0 dan y = 0. Ini adalah solusi trivial.

Metode Substitusi:

1. Dari persamaan kedua, x - y = 0, kita peroleh x = y.
2. Substitusikan x = y ke persamaan pertama: 2(y) + 3y = 0.
3. Ini menghasilkan 5y = 0, sehingga y = 0.
4. Karena x = y, maka x = 0.

Sekali lagi, solusi SPLH ini adalah x = 0 dan y = 0.

Contoh SPLH dengan Solusi Tak Trivial

Perhatikan SPLH berikut:

• x + y - z = 0
• 2x - y + z = 0

Sistem ini memiliki lebih banyak variabel daripada persamaan, sehingga kemungkinan memiliki solusi tak trivial. Penyelesaiannya memerlukan metode yang lebih canggih seperti Eliminasi Gauss atau penentuan ruang nol matriks koefisien. Solusi akan berupa himpunan tak hingga yang memenuhi persamaan.

Kesimpulan

Memahami dan mampu menyelesaikan SPLH adalah keterampilan penting dalam aljabar linear. Metode eliminasi Gauss dan substitusi adalah alat yang ampuh untuk menemukan solusi, baik solusi trivial maupun solusi tak trivial. Praktek lebih lanjut akan membantu Anda menguasai berbagai metode penyelesaian SPLH dan memahami konsep-konsep yang mendasarinya. Semoga artikel ini bermanfaat!