Diferensial Orde Satu Solusi Umum Y 2 2 2

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 13, 2025

41

Share

Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu: Panduan Lengkap untuk y' = 2x + 2y

Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan yang melibatkan turunan pertama dari fungsi tak diketahui. Memecahkan persamaan ini merupakan keterampilan penting dalam berbagai bidang seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Artikel ini akan memandu Anda melalui penyelesaian persamaan diferensial orde satu yang spesifik: y' = 2x + 2y, menjelaskan langkah demi langkah dengan contoh yang jelas.

Memahami Persamaan

Persamaan diferensial kita, y' = 2x + 2y, menyatakan hubungan antara variabel bebas x, variabel tak diketahui y, dan turunan pertama y terhadap x (dinotasikan sebagai y'). Ini termasuk dalam kategori persamaan diferensial linier orde satu.

Metode Penyelesaian: Faktor Integrasi

Salah satu metode yang efektif untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde satu adalah metode faktor integrasi. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Tulis Persamaan dalam Bentuk Standar: Kita perlu menulis persamaan dalam bentuk standar: y' + P(x)y = Q(x). Dalam kasus kita, kita harus mengatur ulang persamaan:

   y' - 2y = 2x

   Di sini, P(x) = -2 dan Q(x) = 2x.

2. Hitung Faktor Integrasi: Faktor integrasi, I(x), dihitung menggunakan rumus:

   I(x) = e^∫P(x)dx

   Dalam kasus kita:

   I(x) = e^∫-2dx = e^-2x

3. Kalikan Persamaan dengan Faktor Integrasi: Kalikan setiap suku dalam persamaan standar dengan faktor integrasi:

   e^-2xy' - 2e^-2xy = 2xe^-2x

4. Integrasikan Kedua Sisi: Perhatikan bahwa ruas kiri persamaan sekarang merupakan turunan dari produk e^-2xy. Oleh karena itu, kita dapat mengintegralkan kedua sisi persamaan:

   ∫(e^-2xy)' dx = ∫2xe^-2x dx

5. Selesaikan Integral: Integral ruas kiri mudah dihitung. Integral ruas kanan memerlukan teknik integrasi parsial. Misalkan u = 2x dan dv = e^-2xdx. Maka du = 2dx dan v = -1/2e^-2x. Dengan integrasi parsial:

   ∫2xe^-2x dx = -xe^-2x + ∫e^-2x dx = -xe^-2x - 1/2e^-2x + C

   Jadi, kita dapatkan:

   e^-2xy = -xe^-2x - 1/2e^-2x + C

6. Selesaikan untuk y: Bagilah kedua sisi dengan e^-2x untuk memperoleh solusi umum:

   y = -x - 1/2 + Ce^2x

   di mana C adalah konstanta integrasi.

Solusi Umum dan Solusi Partikular

Solusi umum yang kita peroleh di atas, y = -x - 1/2 + Ce^2x, mewakili keluarga kurva yang memenuhi persamaan diferensial. Untuk memperoleh solusi partikular, kita perlu informasi tambahan, seperti kondisi awal (nilai y untuk nilai x tertentu). Misalnya, jika diberikan kondisi awal y(0) = 1, kita dapat substitusikan nilai tersebut untuk mencari nilai C dan memperoleh solusi partikular.

Kesimpulan

Metode faktor integrasi merupakan teknik yang kuat dan efisien untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde satu seperti y' = 2x + 2y. Langkah-langkah yang terstruktur dan penjelasan yang jelas dapat membantu Anda memahami dan menerapkan metode ini untuk menyelesaikan persamaan diferensial serupa. Ingat untuk selalu memeriksa solusi Anda dengan substitusi kembali ke persamaan diferensial asli.