Jika Matriks A Maka Ax 0 Punya Solusi Trivial

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 19, 2025

45

Share

Jika Matriks A Maka Ax = 0 Punya Solusi Trivial

Dalam aljabar linear, memahami hubungan antara matriks dan solusi sistem persamaan linear sangat penting. Salah satu konsep kunci yang perlu dipahami adalah hubungan antara matriks A dan solusi trivial persamaan Ax = 0. Artikel ini akan membahas secara detail kondisi-kondisi yang menjamin bahwa sistem persamaan linear homogen Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial (x = 0).

Memahami Solusi Trivial dan Non-Trivial

Sebelum kita menyelami lebih dalam, mari kita definisikan istilah-istilah penting:

• Solusi Trivial: Solusi trivial dari persamaan Ax = 0 adalah x = 0, yaitu vektor nol. Ini adalah solusi yang selalu ada untuk setiap sistem persamaan linear homogen.

• Solusi Non-Trivial: Solusi non-trivial adalah solusi selain vektor nol. Keberadaan solusi non-trivial menunjukkan bahwa sistem persamaan linear homogen memiliki lebih dari satu solusi.

Kondisi Sufisien untuk Solusi Trivial: Determinan Matriks

Kondisi yang paling umum dan mudah dipahami untuk memastikan hanya ada solusi trivial untuk Ax = 0 adalah jika determinan matriks A tidak sama dengan nol (det(A) ≠ 0).

Mengapa ini penting?

Determinan suatu matriks berhubungan erat dengan invertibilitas matriks tersebut. Jika det(A) ≠ 0, maka matriks A memiliki invers (A⁻¹). Kita bisa mengalikan kedua sisi persamaan Ax = 0 dengan A⁻¹:

A⁻¹Ax = A⁻¹0

x = 0

Ini membuktikan bahwa satu-satunya solusi untuk persamaan Ax = 0 adalah solusi trivial, x = 0.

Kondisi Lain: Matriks Persegi dan Independensi Linear

Untuk matriks persegi (jumlah baris sama dengan jumlah kolom), kondisi det(A) ≠ 0 setara dengan pernyataan bahwa kolom-kolom (atau baris-baris) matriks A linear independent. Linear independen berarti tidak ada kolom (atau baris) yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom (atau baris) lainnya.

Jika kolom-kolom matriks A linear independent, maka hanya ada satu kombinasi linear dari kolom-kolom tersebut yang menghasilkan vektor nol, yaitu kombinasi linear dengan semua koefisien sama dengan nol (x = 0). Ini sekali lagi membuktikan bahwa hanya solusi trivial yang ada.

Contoh:

Perhatikan matriks A berikut:

A = | 2  1 |
    | 1  2 |

Determinan A adalah (22) - (11) = 3 ≠ 0. Oleh karena itu, persamaan Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial x = 0.

Kesimpulan:

Keberadaan solusi trivial atau non-trivial untuk persamaan Ax = 0 sangat bergantung pada sifat-sifat matriks A. Jika determinan matriks A tidak sama dengan nol (det(A) ≠ 0), atau jika kolom-kolom (atau baris-baris) matriks A linear independent, maka persamaan Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. Memahami konsep ini sangat krusial dalam berbagai aplikasi aljabar linear, termasuk dalam penyelesaian sistem persamaan linear dan analisis data.