Mencari Penyelesaian Persamaan Trigonometri: 2cot x - 2tan x = 0
Persamaan trigonometri sering kali tampak menantang, tetapi dengan pendekatan sistematis dan pemahaman yang mendalam tentang identitas trigonometri, kita dapat memecahkannya dengan mudah. Mari kita selami pemecahan persamaan 2cot x - 2tan x = 0, mencari nilai xβ dan xβ yang memenuhi persamaan tersebut.
Langkah 1: Sederhanakan Persamaan
Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan yang diberikan. Kita dapat memfaktorkan keluar 2 dari persamaan tersebut:
2(cot x - tan x) = 0
Ini menyiratkan bahwa:
cot x - tan x = 0
Langkah 2: Gunakan Identitas Trigonometri
Untuk melanjutkan pemecahannya, kita perlu menggunakan identitas trigonometri yang menghubungkan kotangen (cot x) dan tangen (tan x). Kita tahu bahwa:
cot x = 1/tan x
Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan kita:
1/tan x - tan x = 0
Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan
Sekarang kita punya persamaan yang hanya melibatkan tangen (tan x). Untuk memudahkan, kita kalikan seluruh persamaan dengan tan x (dengan asumsi tan x β 0, yang akan kita periksa nanti):
1 - tanΒ²x = 0
Susun ulang persamaan:
tanΒ²x = 1
Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
tan x = Β±1
Langkah 4: Mencari Nilai x
Sekarang kita perlu mencari nilai x yang memenuhi tan x = 1 dan tan x = -1. Ingat bahwa fungsi tangen memiliki periode Ο (atau 180Β°).
-
tan x = 1: Nilai x yang memenuhi persamaan ini adalah x = Ο/4 + nΟ, di mana n adalah bilangan bulat.
-
tan x = -1: Nilai x yang memenuhi persamaan ini adalah x = 3Ο/4 + nΟ, di mana n adalah bilangan bulat.
Langkah 5: Memverifikasi Penyelesaian
Kita perlu memeriksa apakah ada solusi yang membuat tan x = 0, karena kita sebelumnya berasumsi tan x β 0. Jika tan x = 0, maka cot x tidak terdefinisi, sehingga persamaan awal tidak terdefinisi. Oleh karena itu, solusi tan x = 0 tidak valid.
Langkah 6: Solusi Akhir
Dengan demikian, solusi umum dari persamaan 2cot x - 2tan x = 0 adalah:
x = Ο/4 + nΟ dan x = 3Ο/4 + nΟ, di mana n adalah bilangan bulat.
xβ dan xβ dapat mewakili dua nilai pertama yang positif dari himpunan solusi ini, yaitu: xβ = Ο/4 dan xβ = 3Ο/4.
Kesimpulan
Memecahkan persamaan trigonometri membutuhkan pemahaman yang kuat tentang identitas trigonometri dan kemampuan untuk memanipulasi persamaan secara aljabar. Dengan langkah-langkah sistematis, kita dapat menemukan solusi umum dan nilai-nilai spesifik dari persamaan 2cot x - 2tan x = 0. Ingat selalu untuk memeriksa validitas setiap penyelesaian dan pertimbangkan periode fungsi trigonometri yang terlibat.
