Jika Xi Dan X2 Adalah Solusi Dari Csc2x Csc3-10 0

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 06, 2025

49

Share

Menemukan Solusi untuk persamaan trigonometri csc²x - cscx - 10 = 0

Persamaan trigonometri dapat menjadi tantangan, tetapi dengan pendekatan sistematis, kita dapat memecahkannya secara efektif. Mari kita selesaikan persamaan csc²x - cscx - 10 = 0 untuk menemukan solusi x₁ dan x₂.

Mengubah Persamaan

Langkah pertama dalam memecahkan persamaan trigonometri ini adalah mengubahnya menjadi bentuk yang lebih mudah dikerjakan. Perhatikan bahwa persamaan ini berbentuk kuadrat jika kita menganggap cscx sebagai variabel. Kita dapat menulis ulang persamaan sebagai:

(cscx)² - cscx - 10 = 0

Memecahkan Persamaan Kuadrat

Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan faktorisasi atau rumus kuadratik. Mari kita gunakan faktorisasi:

Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -10 dan jika dijumlahkan menghasilkan -1. Bilangan tersebut adalah -5 dan 2. Dengan demikian, persamaan dapat difaktorkan menjadi:

(cscx - 5)(cscx + 2) = 0

Ini memberi kita dua kemungkinan solusi:

• cscx - 5 = 0 => cscx = 5
• cscx + 2 = 0 => cscx = -2

Mencari Nilai x

Ingat bahwa cscx = 1/sinx. Oleh karena itu, kita dapat menulis ulang persamaan di atas sebagai:

• 1/sinx = 5 => sinx = 1/5
• 1/sinx = -2 => sinx = -1/2

Untuk menemukan nilai x, kita perlu menggunakan fungsi arcsin (sin⁻¹). Namun, penting diingat bahwa fungsi sin memiliki periodisitas 2π. Oleh karena itu, akan ada banyak solusi untuk x.

• Untuk sinx = 1/5:

  x = sin⁻¹(1/5) + 2kπ dan x = π - sin⁻¹(1/5) + 2kπ, di mana k adalah bilangan bulat.

• Untuk sinx = -1/2:

  x = sin⁻¹(-1/2) + 2kπ dan x = π - sin⁻¹(-1/2) + 2kπ, di mana k adalah bilangan bulat. Nilai sin⁻¹(-1/2) adalah -π/6. Oleh karena itu :

  x = -π/6 + 2kπ dan x = π - (-π/6) + 2kπ = 7π/6 + 2kπ

Kesimpulan

Persamaan csc²x - cscx - 10 = 0 memiliki banyak solusi karena sifat periodik fungsi sinus. Solusi-solusi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk umum menggunakan nilai-nilai yang diperoleh dari arcsin dan periodisitas fungsi sinus. Ingat untuk selalu mempertimbangkan semua kemungkinan solusi saat menyelesaikan persamaan trigonometri. Solusi-solusi spesifik dapat ditemukan dengan mengganti nilai-nilai k (bilangan bulat) ke dalam rumus-rumus yang diperoleh. Menggunakan kalkulator akan membantu menentukan nilai numerik dari solusi-solusi ini.

Semoga penjelasan ini membantu! Ingatlah untuk selalu mempraktikkan soal-soal lain untuk lebih memahami konsep ini. Selamat belajar!