Mencari Solusi Dan Galat Menggunakan Metode Titik Tengah

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

May 15, 2025

56

Share

Mencari Solusi dan Galat Menggunakan Metode Titik Tengah

Metode titik tengah merupakan salah satu teknik numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Teknik ini relatif sederhana dan mudah dipahami, tetapi penting untuk mengerti bagaimana metode ini berfungsi dan bagaimana mengukur galat yang dihasilkan. Artikel ini akan membahas resep lengkap untuk mencari solusi dan menganalisis galatnya menggunakan metode titik tengah.

Memahami Metode Titik Tengah

Metode titik tengah, juga dikenal sebagai metode iterasi titik tengah, adalah teknik numerik iteratif. Ia bekerja dengan mengulang proses perhitungan hingga mencapai suatu nilai yang cukup mendekati solusi sebenarnya. Konsep utamanya adalah mencari titik tengah antara dua titik awal yang diapit oleh akar persamaan.

Langkah-langkahnya:

1. Tetapkan fungsi: Tentukan fungsi f(x) yang ingin anda selesaikan. Fungsi ini harus kontinu pada interval yang dipilih.
2. Tetapkan interval: Tentukan interval [a, b] di mana terdapat akar dari fungsi tersebut. Pastikan f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berbeda. Ini menjamin keberadaan akar dalam interval tersebut.
3. Hitung titik tengah: Hitung titik tengah dari interval [a, b]: c = (a + b) / 2
4. Evaluasi fungsi pada titik tengah: Hitung nilai fungsi pada titik tengah: f(c)
5. Periksa kriteria: Jika |f(c)| < toleransi (di mana toleransi adalah nilai kecil yang ditentukan), maka c adalah perkiraan akar yang cukup baik. Proses iterasi dapat dihentikan.
6. Perbarui interval: Jika f(a) * f(c) < 0, maka akar terletak di antara a dan c. Jadi, perbarui interval menjadi [a, c]. Jika f(b) * f(c) < 0, maka akar terletak di antara c dan b. Perbarui interval menjadi [c, b].
7. Ulangi langkah 3-6: Ulangi langkah 3 hingga 6 sampai kriteria konvergensi terpenuhi.

Menghitung Galat

Setelah memperoleh solusi perkiraan, sangat penting untuk menghitung galat untuk menilai akurasi solusi tersebut. Ada beberapa cara untuk menghitung galat:

• Galat absolut: |x_n - x_(n-1)| di mana x_n adalah perkiraan akar pada iterasi ke-n, dan x_(n-1) adalah perkiraan pada iterasi sebelumnya. Nilai ini menunjukkan perbedaan absolut antara dua iterasi berurutan.

• Galat relatif: | (x_n - x_(n-1)) / x_n | Nilai ini menunjukkan perbedaan relatif antara dua iterasi berurutan, di normalisasi terhadap nilai iterasi terkini. Galat relatif biasanya lebih informatif daripada galat absolut, terutama ketika nilai akarnya besar.

• Galat dengan membandingkan dengan nilai sebenarnya (jika diketahui): Jika nilai akar sebenarnya diketahui, galat dapat dihitung secara langsung: |x_n - x_sebenarnya|. Ini memberikan ukuran langsung dari seberapa akurat perkiraan kita.

Memilih Toleransi yang Tepat: Pemilihan toleransi sangat penting. Toleransi yang terlalu ketat dapat menyebabkan iterasi yang sangat banyak, sementara toleransi yang terlalu longgar dapat menghasilkan solusi yang tidak akurat. Biasanya, toleransi yang kecil, misalnya 1e-6 atau 1e-8, digunakan.

Contoh Implementasi

Mari kita coba menyelesaikan persamaan f(x) = x³ - 2x - 5 = 0 menggunakan metode titik tengah dengan interval [2, 3] dan toleransi 1e-6.

(Catatan: Implementasi kode di sini hanya sebagai ilustrasi dan mungkin perlu dimodifikasi untuk kasus spesifik. Penggunaan library numerik seperti SciPy dalam Python akan menyederhanakan proses ini.)

Meskipun kode tidak disertakan di sini untuk menghindari ketergantungan pada library eksternal, Anda dapat dengan mudah mengimplementasikan algoritma di atas menggunakan bahasa pemrograman pilihan Anda.

Kesimpulan

Metode titik tengah adalah metode sederhana namun efektif untuk mencari akar persamaan non-linear. Dengan memahami langkah-langkahnya dan cara menghitung galat, Anda dapat menggunakan metode ini untuk menyelesaikan berbagai masalah numerik. Ingatlah untuk memilih toleransi yang tepat dan mengevaluasi galat untuk memastikan akurasi solusi yang dihasilkan. Penggunaan library numerik dapat mempermudah implementasi dan memberikan hasil yang lebih akurat dan efisien.