Mencari Solusi Persamaan Dengan Metode Iterasi

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 06, 2025

46

Share

Mencari Solusi Persamaan Dengan Metode Iterasi: Panduan Lengkap

Metode iterasi merupakan teknik numerik yang ampuh untuk menemukan solusi hampiran persamaan, khususnya persamaan non-linear yang sulit atau bahkan mustahil diselesaikan secara analitik. Metode ini bekerja dengan membangun urutan hampiran yang konvergen ke solusi sebenarnya. Dalam panduan ini, kita akan menjelajahi beberapa metode iterasi yang umum digunakan dan bagaimana menerapkannya.

Apa itu Metode Iterasi?

Metode iterasi, secara sederhana, adalah proses berulang yang menghasilkan urutan hampiran yang semakin mendekati solusi persamaan. Proses ini dimulai dengan tebakan awal (initial guess) dan kemudian secara berulang-ulang memperbaiki tebakan tersebut hingga mencapai tingkat akurasi yang diinginkan. Keberhasilan metode ini sangat bergantung pada pemilihan tebakan awal dan sifat persamaan yang diselesaikan.

Metode Iterasi yang Umum Digunakan

Beberapa metode iterasi yang populer meliputi:

• Metode Titik Tetap (Fixed-Point Iteration): Metode ini didasarkan pada menuliskan persamaan dalam bentuk x = g(x). Urutan hampiran dihitung dengan rumus iterasi x_(n+1) = g(x_n). Konvergensi metode ini bergantung pada sifat fungsi g(x).

• Metode Newton-Raphson: Metode ini merupakan salah satu metode iterasi yang paling banyak digunakan dan dikenal karena konvergensinya yang cepat. Rumus iterasinya adalah: x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n), di mana f(x) adalah fungsi yang akarnya ingin dicari dan f'(x) adalah turunan pertamanya. Metode ini membutuhkan perhitungan turunan, yang bisa menjadi kendala dalam beberapa kasus.

• Metode Secant: Metode ini merupakan alternatif bagi metode Newton-Raphson ketika perhitungan turunan sulit atau tidak praktis. Metode ini menggunakan pendekatan numerik untuk mengestimasi turunan dan rumus iterasinya adalah: x_(n+1) = x_n - f(x_n) * (x_n - x_(n-1)) / (f(x_n) - f(x_(n-1))).

Langkah-Langkah Menerapkan Metode Iterasi

Berikut adalah langkah-langkah umum untuk menerapkan metode iterasi:

1. Rumuskan Persamaan: Tuliskan persamaan yang ingin diselesaikan dalam bentuk yang sesuai dengan metode iterasi yang dipilih. Misalnya, untuk metode titik tetap, tuliskan persamaan dalam bentuk x = g(x).

2. Pilih Tebakan Awal: Pilih tebakan awal (initial guess) yang masuk akal. Pilihan tebakan awal yang baik dapat mempercepat konvergensi.

3. Tentukan Kriteria Berhenti: Tentukan kriteria yang digunakan untuk menghentikan proses iterasi. Kriteria ini bisa berupa jumlah iterasi maksimum, selisih antara dua hampiran yang berturut-turut kurang dari toleransi tertentu, atau kriteria lainnya.

4. Lakukan Iterasi: Hitung urutan hampiran menggunakan rumus iterasi yang sesuai hingga kriteria berhenti terpenuhi.

5. Analisis Hasil: Setelah proses iterasi selesai, analisis hasil yang diperoleh. Periksa apakah solusi yang ditemukan memenuhi persamaan awal dan seberapa akurat solusi tersebut.

Contoh Penerapan Metode Iterasi

Mari kita terapkan metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan f(x) = x² - 2 = 0. Turunan pertamanya adalah f'(x) = 2x. Dengan tebakan awal x_0 = 1, kita dapat menghitung iterasi sebagai berikut:

• x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0) = 1 - (1² - 2) / (2 * 1) = 1.5
• x_2 = x_1 - f(x_1) / f'(x_1) = 1.5 - (1.5² - 2) / (2 * 1.5) ≈ 1.4167
• dan seterusnya...

Kita dapat melihat bahwa urutan hampiran mendekati √2.

Kesimpulan

Metode iterasi merupakan alat yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan, khususnya persamaan non-linear. Pilihan metode yang tepat dan pemilihan tebakan awal yang baik sangat penting untuk keberhasilan metode ini. Pemahaman yang mendalam tentang metode-metode ini sangat bermanfaat bagi siapa saja yang bekerja dengan pemodelan matematis dan analisis numerik.