Mencari Solusi Spl Dengan Cramer

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 16, 2025

32

Share

Mencari Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Kaedah Cramer

Kaedah Cramer ialah teknik algebra yang berkuasa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Ia menggunakan penentu untuk mencari penyelesaian bagi setiap pembolehubah dalam sistem. Walaupun mungkin kelihatan rumit pada mulanya, kaedah ini sistematik dan menawarkan penyelesaian yang tepat, terutama untuk sistem 2x2 dan 3x3. Artikel ini akan membimbing anda melalui proses menggunakan Kaedah Cramer dengan contoh praktikal.

Apakah Penentu?

Sebelum menyelami Kaedah Cramer, adalah penting untuk memahami konsep penentu. Penentu ialah nilai yang dikaitkan dengan matriks persegi (matriks dengan bilangan baris dan lajur yang sama). Untuk matriks 2x2:

| a  b |
| c  d |

Penentunya dikira sebagai: ad - bc

Bagi matriks 3x3:

| a  b  c |
| d  e  f |
| g  h  i |

Pengiraan penentu agak lebih rumit, melibatkan pengembangan kofaktor. Namun, kebanyakan kalkulator dan perisian matematik boleh mengira penentu dengan mudah.

Kaedah Cramer untuk Sistem 2x2

Pertimbangkan sistem persamaan linear 2x2 berikut:

ax + by = e
cx + dy = f

Untuk menyelesaikan sistem ini dengan Kaedah Cramer, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Kira penentu matriks pekali (D): Ini ialah penentu matriks yang dibentuk oleh pekali pembolehubah x dan y:

   D = | a b | = ad - bc | c d |

2. Kira penentu untuk x (Dx): Gantikan lajur pekali x dengan vektor pemalar (e dan f):

   Dx = | e b | = ed - bf | f d |

3. Kira penentu untuk y (Dy): Gantikan lajur pekali y dengan vektor pemalar (e dan f):

   Dy = | a e | = af - ce | c f |

4. Cari penyelesaian: Penyelesaian untuk x dan y diberikan oleh:

   x = Dx / D y = Dy / D

Contoh:

Selesaikan sistem berikut:

2x + 3y = 7
x - 2y = -4

1. D = | 2 3 | = (2)(-2) - (3)(1) = -7 | 1 -2 |

2. Dx = | 7 3 | = (7)(-2) - (3)(-4) = -2 | -4 -2 |

3. Dy = | 2 7 | = (2)(-4) - (7)(1) = -15 | 1 -4 |

4. x = Dx / D = -2 / -7 = 2/7 y = Dy / D = -15 / -7 = 15/7

Oleh itu, penyelesaiannya ialah x = 2/7 dan y = 15/7

Kaedah Cramer untuk Sistem 3x3 (dan lebih tinggi)

Kaedah Cramer boleh digunakan untuk sistem 3x3 dan lebih tinggi, tetapi pengiraan penentu menjadi lebih kompleks. Prinsipnya sama: kira penentu matriks pekali (D) dan kemudian gantikan setiap lajur dengan vektor pemalar untuk mencari Dx, Dy, Dz (dan seterusnya). Penyelesaiannya akan diberikan oleh:

x = Dx / D y = Dy / D z = Dz / D

Kesimpulan:

Kaedah Cramer menawarkan cara sistematik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Walaupun pengiraan penentu boleh menjadi kompleks untuk sistem yang lebih besar, ia tetap merupakan teknik yang berguna, terutamanya untuk sistem kecil. Ingat untuk sentiasa memeriksa penyelesaian anda dengan menggantikan nilai-nilai yang diperoleh ke dalam persamaan asal.