Mencari Solusi Untuk Persamaan Gelombang Uantum Satu Dimensi

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

May 11, 2025

60

Share

Berikut adalah artikel blog tentang resep lengkap untuk mencari solusi persamaan gelombang kuantum satu dimensi:

Mencari Solusi Persamaan Gelombang Kuantum Satu Dimensi: Resep Lengkap

Persamaan gelombang Schrödinger adalah persamaan fundamental dalam mekanika kuantum yang menggambarkan evolusi waktu sistem kuantum. Untuk sistem satu dimensi, persamaan tersebut berbentuk:

-ħ²/2m * ∂²Ψ(x,t)/∂x² + V(x)Ψ(x,t) = iħ * ∂Ψ(x,t)/∂t

di mana:

• ħ adalah konstanta Planck tereduksi
• m adalah massa partikel
• V(x) adalah potensial sebagai fungsi posisi
• Ψ(x,t) adalah fungsi gelombang, yang amplitudonya kuadrat memberikan probabilitas menemukan partikel pada posisi x pada waktu t

Mencari solusi untuk persamaan ini bisa jadi menantang, tetapi ada beberapa metode yang bisa digunakan, tergantung pada bentuk potensial V(x). Mari kita bahas beberapa metode umum berikut ini:

Metode Penyelesaian Persamaan Gelombang Schrödinger

Berikut adalah tiga pendekatan umum untuk memecahkan persamaan Schrödinger yang bergantung pada waktu untuk sistem satu dimensi:

1. Pemisahan Variabel untuk Potensial Waktu-Independen

Jika potensial V(x) tidak bergantung pada waktu, kita bisa memisahkan variabel dalam persamaan Schrödinger. Artinya, kita bisa menulis fungsi gelombang sebagai perkalian fungsi ruang dan waktu:

Ψ(x,t) = ψ(x)φ(t)

Dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan Schrödinger dan membagi dengan Ψ(x,t), kita mendapatkan dua persamaan diferensial biasa:

• Persamaan waktu-independen Schrödinger:

-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)

di mana E adalah energi total sistem.

• Persamaan waktu-bergantung:

dφ(t)/dt = -iE/ħφ(t)

Persamaan waktu-bergantung mudah diselesaikan, menghasilkan:

φ(t) = exp(-iEt/ħ)

Persamaan waktu-independen lebih menantang dan penyelesaiannya bergantung pada bentuk potensial V(x).

2. Metode Numerik

Untuk potensial yang rumit, solusi analitis mungkin tidak mungkin ditemukan. Dalam kasus tersebut, metode numerik, seperti metode elemen hingga atau metode perbedaan hingga, dapat digunakan untuk mendapatkan solusi perkiraan. Metode ini melibatkan diskritisasi persamaan Schrödinger dan menyelesaikan sistem persamaan aljabar yang dihasilkan.

3. Aproksimasi Perturbasi

Jika potensial V(x) bisa ditulis sebagai jumlah potensial yang diketahui solusinya dan sebuah perturbasi kecil, maka metode aproksimasi perturbasi dapat digunakan untuk memperoleh solusi perkiraan.

Contoh-Contoh Spesifik Potensial

Berikut beberapa potensial umum dan solusinya:

1. Partikel Bebas (V(x) = 0)

Untuk partikel bebas, persamaan waktu-independen Schrödinger menjadi:

-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)

Solusinya adalah gelombang bidang:

ψ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)

di mana k = √(2mE)/ħ adalah bilangan gelombang.

2. Sumur Potensial Tak Hingga (V(x) = 0 untuk -a ≤ x ≤ a, V(x) = ∞ di tempat lain)

Untuk sumur potensial tak hingga, solusi persamaan waktu-independen Schrödinger terbatas pada selang [-a, a] dan merupakan gelombang berdiri:

ψ_n(x) = √(1/a) cos(nπx/2a)  untuk n ganjil
ψ_n(x) = √(1/a) sin(nπx/2a)  untuk n genap

di mana n = 1, 2, 3,... adalah bilangan kuantum.

3. Osilator Harmonis Sederhana (V(x) = 1/2mω²x²)

Untuk osilator harmonis sederhana, solusi persamaan waktu-independen Schrödinger adalah fungsi Hermite:

ψ_n(x) = H_n(x)exp(-x²/2)

di mana H_n(x) adalah polinomial Hermite tingkat n.

Kesimpulan

Mencari solusi untuk persamaan gelombang kuantum satu dimensi memerlukan pemahaman yang mendalam tentang persamaan dan berbagai metode penyelesaiannya. Pemilihan metode yang tepat bergantung pada bentuk potensialnya. Dengan memilih strategi yang benar, dan menggunakan metode komputasi jika perlu, kita dapat memahami perilaku sistem kuantum satu dimensi. Ingatlah untuk selalu memeriksa solusi yang diperoleh untuk memastikannya memenuhi syarat-syarat batas dan kondisi fisik lainnya.