Menentukan Solusi Laplace Dirensial Orde 3

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 08, 2025

42

Share

Menentukan Solusi Laplace Persamaan Diferensial Orde 3

Persamaan diferensial orde tiga, seringkali rumit untuk dipecahkan dengan metode konvensional. Namun, transformasi Laplace menawarkan pendekatan alternatif yang elegan dan efektif, terutama saat berhadapan dengan kondisi awal. Artikel ini akan memandu Anda melalui proses lengkap menyelesaikan persamaan diferensial orde tiga menggunakan transformasi Laplace, lengkap dengan contoh dan penjelasan langkah demi langkah.

Memahami Transformasi Laplace

Sebelum kita menyelami solusi persamaan diferensial, penting untuk memahami konsep dasar transformasi Laplace. Transformasi Laplace mengubah fungsi dalam domain waktu menjadi fungsi dalam domain frekuensi (s). Ini sangat berguna karena mengubah operasi diferensial menjadi operasi aljabar, sehingga menyederhanakan penyelesaian persamaan diferensial. Transformasi Laplace dari fungsi f(t) dilambangkan sebagai L{f(t)} atau F(s).

Properti Penting Transformasi Laplace

Beberapa properti penting transformasi Laplace yang akan kita gunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde tiga:

• Linearitas: L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}
• Derivatif: L{f'(t)} = sF(s) - f(0) L{f''(t)} = s²F(s) - sf(0) - f'(0) L{f'''(t)} = s³F(s) - s²f(0) - sf'(0) - f''(0)
• Tabel Transformasi Laplace: Kita akan memerlukan tabel transformasi Laplace standar untuk mengubah fungsi-fungsi yang umum ditemui kembali ke domain waktu setelah menyelesaikan persamaan dalam domain frekuensi.

Langkah-langkah Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde 3 dengan Transformasi Laplace

Berikut langkah-langkah umum dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde tiga menggunakan transformasi Laplace:

1. Ambil Transformasi Laplace: Terapkan transformasi Laplace pada setiap suku dalam persamaan diferensial. Gunakan properti derivatif di atas untuk mengubah derivatif menjadi fungsi aljabar dalam s.

2. Sederhanakan Persamaan Aljabar: Susun ulang persamaan yang dihasilkan untuk menyelesaikan F(s), yaitu transformasi Laplace dari solusi y(t).

3. Pecah menjadi Pecahan Parsial (jika perlu): Terkadang, F(s) akan berupa fungsi rasional yang kompleks. Dalam kasus ini, kita perlu memecahnya menjadi pecahan-pecahan parsial yang lebih sederhana untuk memudahkan transformasi invers.

4. Ambil Transformasi Invers Laplace: Gunakan tabel transformasi Laplace dan properti linearitas untuk menemukan y(t) dari F(s). Ini akan memberikan solusi untuk persamaan diferensial.

Contoh

Mari kita selesaikan persamaan diferensial orde tiga berikut dengan kondisi awal y(0) = 1, y'(0) = 0, dan y''(0) = -1:

y'''(t) + 2y''(t) + y'(t) = 0

1. Transformasi Laplace: L{y'''(t)} + 2L{y''(t)} + L{y'(t)} = L{0} s³Y(s) - s²y(0) - sy'(0) - y''(0) + 2(s²Y(s) - sy(0) - y'(0)) + sY(s) - y(0) = 0

2. Substitusi Kondisi Awal dan Penyederhanaan: s³Y(s) - s² + 1 + 2(s²Y(s) - s) + sY(s) - 1 = 0 (s³ + 2s² + s)Y(s) = s² + 2s

3. Menyelesaikan Y(s): Y(s) = (s² + 2s) / (s³ + 2s² + s) = (s(s+2)) / (s(s+1)²) = (s+2) / ((s+1)²)

4. Pecahan Parsial: (s+2) / ((s+1)²) = A / (s+1) + B / (s+1)² s + 2 = A(s+1) + B A = 1, B = 1

5. Transformasi Invers Laplace: Y(s) = 1/(s+1) + 1/(s+1)² y(t) = e⁻ᵗ + te⁻ᵗ

Jadi, solusi untuk persamaan diferensial tersebut adalah y(t) = e⁻ᵗ + te⁻ᵗ.

Kesimpulan

Transformasi Laplace menyediakan metode sistematis dan efisien untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde tiga, bahkan dengan kondisi awal yang kompleks. Dengan memahami langkah-langkah dan properti-properti yang terlibat, Anda dapat menyelesaikan berbagai masalah persamaan diferensial dengan lebih mudah dan efektif. Ingatlah untuk selalu merujuk pada tabel transformasi Laplace standar untuk membantu dalam proses transformasi invers.