Menentukan Solusi Persamaan Diferensial Dan Transformasi Laplace

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

May 02, 2025

64

Share

Menentukan Penyelesaian Persamaan Diferensial Menggunakan Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah alat yang ampuh dalam menyelesaikan persamaan diferensial, terutama persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan. Ia mengubah persamaan diferensial dalam domain waktu menjadi persamaan aljabar dalam domain Laplace, yang biasanya lebih mudah diselesaikan. Setelah solusi ditemukan dalam domain Laplace, transformasi Laplace invers digunakan untuk mendapatkan solusi dalam domain waktu.

Memahami Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), dilambangkan dengan F(s), didefinisikan sebagai:

F(s) = L{f(t)} = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt

di mana 's' adalah variabel kompleks. Transformasi ini mengubah fungsi waktu menjadi fungsi dari variabel kompleks 's'.

Sifat-Sifat Transformasi Laplace yang Penting

Beberapa sifat penting transformasi Laplace yang sangat berguna dalam penyelesaian persamaan diferensial meliputi:

• Linearitas: L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}
• Transformasi Turunan: L{f'(t)} = sF(s) - f(0) dan L{f''(t)} = s²F(s) - sf(0) - f'(0)
• Transformasi Integral: L{∫₀^t f(τ) dτ} = F(s)/s
• Teorema Pergeseran: L{e^(at)f(t)} = F(s-a)
• Teorema Nilai Awal dan Akhir: Ini berguna untuk menentukan nilai fungsi dan turunannya pada t=0 dan t=∞.

Langkah-langkah Menyelesaikan Persamaan Diferensial Menggunakan Transformasi Laplace

Berikut langkah-langkah umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan menggunakan transformasi Laplace:

1. Ambil Transformasi Laplace: Terapkan transformasi Laplace pada setiap suku dalam persamaan diferensial. Gunakan sifat-sifat transformasi Laplace, khususnya sifat transformasi turunan, untuk mengubah turunan menjadi fungsi aljabar dari 's'.

2. Selesaikan Persamaan Aljabar: Anda akan mendapatkan persamaan aljabar dalam 's' dan F(s). Selesaikan persamaan ini untuk F(s). Ini biasanya melibatkan manipulasi aljabar sederhana.

3. Temukan Transformasi Laplace Invers: Gunakan tabel transformasi Laplace invers atau teknik seperti fraksi parsial untuk mencari fungsi f(t) yang sesuai dengan F(s). Ini akan memberikan solusi persamaan diferensial dalam domain waktu.

Contoh Penerapan

Mari kita selesaikan persamaan diferensial sederhana berikut:

y'' + 4y' + 3y = 0, dengan kondisi awal y(0) = 1 dan y'(0) = 0.

1. Transformasi Laplace: Menggunakan sifat transformasi turunan, kita dapatkan:

   s²Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4[sY(s) - y(0)] + 3Y(s) = 0

2. Penyederhanaan: Substitusikan kondisi awal dan sederhanakan persamaan:

   s²Y(s) - s - 0 + 4sY(s) - 4 + 3Y(s) = 0 (s² + 4s + 3)Y(s) = s + 4 Y(s) = (s + 4) / (s² + 4s + 3)

3. Fraksi Parsial: Faktorkan penyebut dan gunakan fraksi parsial untuk menyederhanakan Y(s):

   Y(s) = (s + 4) / [(s + 1)(s + 3)] = A/(s+1) + B/(s+3)

   Menentukan A dan B, kita akan mendapatkan: A = 3/2 dan B = -1/2

   Y(s) = (3/2)/(s+1) - (1/2)/(s+3)

4. Transformasi Laplace Invers: Menggunakan tabel transformasi Laplace invers, kita dapatkan:

   y(t) = (3/2)e^(-t) - (1/2)e^(-3t)

Ini adalah solusi persamaan diferensial yang diberikan.

Kesimpulan

Transformasi Laplace merupakan metode yang efektif dan efisien untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan diferensial. Dengan memahami sifat-sifatnya dan langkah-langkah penyelesaiannya, kita dapat mengatasi masalah yang kompleks dengan lebih mudah dan sistematis. Praktik dan latihan yang cukup akan meningkatkan kemampuan anda dalam mengaplikasikan teknik ini.