Menghitung Solusi Spl Cara Determinan

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 08, 2025

37

Share

Menghitung Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Kaedah Determinan

Sistem persamaan linear merupakan konsep penting dalam algebra linear, dengan pelbagai aplikasi dalam bidang sains, kejuruteraan dan ekonomi. Menyelesaikan sistem sebegini boleh dilakukan melalui pelbagai kaedah, dan salah satu kaedahnya ialah menggunakan kaedah determinan, khususnya menggunakan peraturan Cramer. Kaedah ini amat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan bilangan pembolehubah yang kecil, umumnya dua atau tiga.

Apakah Determinan?

Sebelum kita menerokai cara menggunakan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, penting untuk memahami apa itu determinan. Determinan adalah suatu nombor yang dikaitkan dengan matriks persegi (matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama). Determinan bagi matriks 2x2, diberi oleh:

| a  b |
| c  d |  = ad - bc

Manakala untuk matriks 3x3, pengiraan determinan lebih rumit, tetapi boleh dikira menggunakan pengembangan kofaktor atau kaedah lain.

Peraturan Cramer: Mencari Penyelesaian dengan Determinan

Peraturan Cramer menyediakan cara sistematik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan determinan. Katakan kita mempunyai sistem persamaan linear berikut:

• a₁x + b₁y = c₁
• a₂x + b₂y = c₂

Kita boleh menuliskan sistem ini dalam bentuk matriks:

| a₁  b₁ |  | x |  =  | c₁ |
| a₂  b₂ |  | y |  | c₂ |

Menggunakan peraturan Cramer, nilai x dan y boleh dikira seperti berikut:

• x = Dₓ / D
• y = Dᵧ / D

Di mana:

• D ialah determinan matriks pekali (matriks yang mengandungi pekali a₁, b₁, a₂, b₂).
• Dₓ ialah determinan matriks yang diperoleh dengan menggantikan lajur pertama matriks pekali dengan lajur hasil (c₁, c₂).
• Dᵧ ialah determinan matriks yang diperoleh dengan menggantikan lajur kedua matriks pekali dengan lajur hasil (c₁, c₂).

Contoh Pengiraan:

Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan peraturan Cramer:

• 2x + 3y = 7
• x - y = -2

1. Cari D:

D = | 2  3 | = (2)(-1) - (3)(1) = -5
    | 1 -1 |

2. Cari Dₓ:

Dₓ = | 7  3 | = (7)(-1) - (3)(-2) = -1
     | -2 -1 |

3. Cari Dᵧ:

Dᵧ = | 2  7 | = (2)(-2) - (7)(1) = -11
     | 1 -2 |

4. Kira x dan y:

• x = Dₓ / D = -1 / -5 = 1/5
• y = Dᵧ / D = -11 / -5 = 11/5

Oleh itu, penyelesaian untuk sistem persamaan ini ialah x = 1/5 dan y = 11/5.

Had Kaedah Determinan

Walaupun kaedah determinan berguna untuk sistem persamaan linear kecil, ia menjadi kurang cekap dan rumit untuk sistem dengan bilangan pembolehubah yang lebih besar. Untuk sistem yang lebih besar, kaedah penghapusan Gauss-Jordan atau kaedah penguraian LU lebih berkesan.

Kesimpulan

Kaedah determinan, khususnya peraturan Cramer, merupakan alat yang berkuasa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kecil. Memahami konsep determinan dan cara mengaplikasikan peraturan Cramer adalah penting untuk menguasai algebra linear. Walaupun mempunyai had untuk sistem yang lebih besar, ia merupakan satu kaedah yang penting untuk difahami dan digunakan dalam menyelesaikan masalah matematik yang berkaitan.