Formulasi Model dan Solusi Grafik untuk Program Linear: Panduan Lengkap
Program linear (LP) adalah teknik pengoptimalan matematika yang digunakan untuk menemukan solusi terbaik untuk masalah yang melibatkan variabel keputusan, fungsi objektif, dan kendala. Artikel ini akan memberikan panduan lengkap tentang formulasi model dan solusi grafik untuk program linear. Kita akan membahas langkah demi langkah, mulai dari mengidentifikasi variabel dan fungsi objektif hingga menemukan solusi optimal melalui grafik.
Memahami Komponen Program Linear
Sebelum kita masuk ke formulasi model, mari kita pahami tiga komponen utama dalam setiap masalah program linear:
1. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah besaran yang ingin kita tentukan nilainya untuk mencapai solusi optimal. Misalnya, jika kita ingin memaksimalkan keuntungan dari memproduksi dua jenis produk, variabel keputusan akan menjadi jumlah unit yang diproduksi untuk masing-masing produk.
2. Fungsi Objektif
Fungsi objektif adalah fungsi matematika yang ingin kita maksimalkan atau minimalkan. Dalam contoh produksi, fungsi objektif mungkin berupa persamaan yang mewakili total keuntungan, yang merupakan fungsi dari jumlah unit yang diproduksi.
3. Kendala
Kendala adalah batasan yang membatasi nilai variabel keputusan. Kendala ini dapat berupa keterbatasan sumber daya, kapasitas produksi, atau persyaratan lainnya. Dalam contoh produksi, kendala mungkin berupa keterbatasan bahan baku atau waktu produksi.
Formulasi Model Program Linear
Mari kita lihat bagaimana kita merumuskan model program linear dengan contoh. Misalkan sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk, A dan B. Keuntungan per unit produk A adalah RM5 dan produk B adalah RM8. Ketersediaan bahan baku X dan Y masing-masing adalah 100 unit dan 80 unit. Satu unit produk A memerlukan 2 unit bahan baku X dan 1 unit bahan baku Y. Satu unit produk B memerlukan 1 unit bahan baku X dan 4 unit bahan baku Y. Bagaimana kita merumuskan model program linear untuk memaksimalkan keuntungan?
Langkah-langkah Formulasi
-
Tentukan Variabel Keputusan:
- x = jumlah unit produk A yang diproduksi
- y = jumlah unit produk B yang diproduksi
-
Tentukan Fungsi Objektif:
- Maksimalkan Z = 5x + 8y (Z mewakili total keuntungan)
-
Tentukan Kendala:
- 2x + y β€ 100 (kendala bahan baku X)
- x + 4y β€ 80 (kendala bahan baku Y)
- x β₯ 0, y β₯ 0 (kendala non-negatif)
Jadi, model program linear lengkapnya adalah:
Maksimalkan Z = 5x + 8y
Terhadap kendala:
- 2x + y β€ 100
- x + 4y β€ 80
- x β₯ 0, y β₯ 0
Solusi Grafik Program Linear
Solusi grafik memberikan cara visual untuk menyelesaikan masalah program linear dengan dua variabel. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
-
Gambarkan garis kendala: Gambarkan setiap persamaan kendala pada grafik, dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda sama dengan (=). Ingat untuk menandai daerah yang memenuhi ketidaksamaan.
-
Tentukan daerah feasible: Daerah feasible adalah daerah yang memenuhi semua kendala. Ini adalah daerah yang berada di dalam semua garis kendala.
-
Tentukan titik pojok: Titik pojok adalah titik-titik di mana garis kendala berpotongan. Tentukan koordinat (x, y) dari setiap titik pojok yang berada di dalam daerah feasible.
-
Evaluasi fungsi objektif: Substitusikan koordinat setiap titik pojok ke dalam fungsi objektif. Titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif maksimum (atau minimum) merupakan solusi optimal.
Contoh: Untuk contoh di atas, gambarkan garis 2x + y = 100 dan x + 4y = 80. Tentukan daerah feasible, dan hitung nilai Z di setiap titik pojok daerah tersebut. Titik pojok yang menghasilkan nilai Z terbesar adalah solusi optimal.
Kesimpulan
Formulasi model dan solusi grafik merupakan pendekatan dasar untuk menyelesaikan masalah program linear dengan dua variabel. Untuk masalah dengan lebih banyak variabel, metode seperti Simplex method diperlukan. Namun, memahami konsep dasar ini merupakan langkah penting dalam menguasai teknik pengoptimalan yang kuat ini. Semoga panduan ini membantu Anda dalam memahami dan menyelesaikan masalah program linear.
