Sistem Persamaan Linier Dapat Dicari Solusinya Dengan Cranner

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 15, 2025

61

Share

Sistem Persamaan Linear: Mencari Solusi dengan Metode Cramer

Metode Cramer adalah teknik aljabar linier yang elegan dan efektif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Ia menawarkan solusi yang langsung dan terstruktur, khususnya untuk sistem dengan jumlah persamaan dan variabel yang relatif kecil. Artikel ini akan membahas secara rinci bagaimana metode Cramer bekerja, langkah-langkah yang terlibat, dan contoh aplikasinya.

Memahami Dasar-dasar Metode Cramer

Metode Cramer bergantung pada konsep determinan matriks. Determinan adalah sebuah nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks persegi. Untuk sistem persamaan linear dengan n persamaan dan n variabel, metode Cramer melibatkan perhitungan determinan beberapa matriks.

Sistem Persamaan Linear Umum:

Sebuah sistem persamaan linear umum dengan dua variabel dapat ditulis sebagai:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Dalam bentuk matriks, sistem ini dapat direpresentasikan sebagai:

| a₁  b₁ |   | x |   | c₁ |
| a₂  b₂ | * | y | = | c₂ |

Langkah-langkah Metode Cramer:

1. Hitung Determinan Matriks Koefisien (D): Determinan matriks koefisien (matriks yang berisi koefisien variabel x dan y) dihitung:

   D = a₁b₂ - a₂b₁
   

2. Hitung Determinan untuk x (Dₓ): Gantikan kolom koefisien x dalam matriks koefisien dengan kolom konstanta (c₁ dan c₂):

   Dₓ = | c₁  b₁ |
        | c₂  b₂ |  = c₁b₂ - c₂b₁
   

3. Hitung Determinan untuk y (Dᵧ): Gantikan kolom koefisien y dalam matriks koefisien dengan kolom konstanta:

   Dᵧ = | a₁  c₁ |
        | a₂  c₂ |  = a₁c₂ - a₂c₁
   

4. Hitung Nilai x dan y: Nilai x dan y dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

   x = Dₓ / D
   y = Dᵧ / D
   

Syarat Penggunaan:

Metode Cramer hanya dapat diterapkan jika determinan matriks koefisien (D) tidak sama dengan nol (D ≠ 0). Jika D = 0, sistem persamaan linear tersebut either tidak memiliki solusi (inconsistent) atau memiliki infinitely many solutions (dependent).

Contoh Aplikasi Metode Cramer

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode Cramer:

2x + 3y = 7
x - 2y = -4

1. Hitung D:

   D = (2)(-2) - (3)(1) = -4 - 3 = -7
   

2. Hitung Dₓ:

   Dₓ = | 7  3 |
        | -4 -2 | = (7)(-2) - (3)(-4) = -14 + 12 = -2
   

3. Hitung Dᵧ:

   Dᵧ = | 2  7 |
        | 1 -4 | = (2)(-4) - (7)(1) = -8 - 7 = -15
   

4. Hitung x dan y:

   x = Dₓ / D = -2 / -7 = 2/7
   y = Dᵧ / D = -15 / -7 = 15/7
   

Oleh karena itu, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah x = 2/7 dan y = 15/7.

Kesimpulan

Metode Cramer menyediakan cara yang sistematis dan langsung untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Walaupun efektif untuk sistem kecil, kompleksitas komputasi meningkat secara signifikan dengan bertambahnya jumlah variabel. Untuk sistem yang lebih besar, metode numerik seperti eliminasi Gauss-Jordan umumnya lebih efisien. Namun demikian, pemahaman metode Cramer tetap penting sebagai konsep fundamental dalam aljabar linear.