Soal Dan Pembahasan Linear Programming Satu Solusi

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 28, 2025

50

Share

Soal dan Pembahasan Linear Programming Satu Solusi: Panduan Lengkap

Linear programming (LP) adalah teknik matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala linier. Dalam banyak kasus, solusi optimal hanya satu. Artikel ini akan membahas secara detail soal dan pembahasan linear programming dengan satu solusi, termasuk langkah-langkah penyelesaiannya. Kita akan menjelajahi berbagai metode dan contoh untuk membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.

Memahami Linear Programming dan Solusi Tunggal

Linear programming melibatkan pencarian nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi objektif, dengan batasan-batasan yang dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan linier. Fungsi objektif ini biasanya merepresentasikan keuntungan, biaya, atau kuantitas yang ingin dioptimalkan.

Solusi tunggal berarti hanya ada satu kombinasi nilai variabel yang memenuhi semua kendala dan menghasilkan nilai optimal fungsi objektif. Berbeda dengan solusi jamak (multiple solutions) atau solusi tidak ada (infeasible solution), solusi tunggal memberikan jawaban yang unik dan definit.

Langkah-Langkah Menyelesaikan Masalah Linear Programming dengan Satu Solusi

Berikut adalah langkah-langkah umum untuk menyelesaikan masalah linear programming yang memiliki satu solusi optimal:

1. Rumuskan Masalah: Identifikasi fungsi objektif (yang ingin dimaksimalkan atau diminimalkan) dan kendala-kendala yang relevan. Tuliskan dalam bentuk matematis. Contoh: Maksimalkan Z = 2x + 3y, dengan kendala: x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0.

2. Buat Grafik: Gambarkan kendala-kendala pada bidang kartesius. Arsir daerah yang memenuhi semua kendala (daerah feasible). Daerah feasible ini akan dibatasi oleh garis-garis yang merepresentasikan kendala.

3. Tentukan Titik Sudut: Identifikasi semua titik sudut (vertices) dari daerah feasible. Titik-titik sudut ini merupakan calon solusi optimal.

4. Evaluasi Fungsi Objektif: Substitusikan koordinat setiap titik sudut ke dalam fungsi objektif. Hitung nilai Z untuk setiap titik.

5. Identifikasi Solusi Optimal: Titik sudut yang menghasilkan nilai Z maksimum (jika memaksimumkan) atau minimum (jika meminimalkan) adalah solusi optimal. Dalam kasus solusi tunggal, hanya akan ada satu titik sudut yang memberikan nilai optimal.

Contoh Soal dan Pembahasan

Mari kita selesaikan contoh soal berikut:

Soal: Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk, A dan B. Produk A membutuhkan 2 jam mesin X dan 1 jam mesin Y. Produk B membutuhkan 1 jam mesin X dan 3 jam mesin Y. Tersedia 10 jam mesin X dan 12 jam mesin Y. Keuntungan per unit produk A adalah Rp 50.000 dan produk B adalah Rp 70.000. Berapa banyak unit produk A dan B yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan?

Pembahasan:

1. Rumusan Masalah: Maksimalkan Z = 50000x + 70000y (x = jumlah produk A, y = jumlah produk B) Kendala: 2x + y ≤ 10, x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

2. Grafik: Gambarkan kendala pada grafik dan tentukan daerah feasible.

3. Titik Sudut: Titik sudut daerah feasible adalah (0,0), (0,4), (3,4), (5,0).

4. Evaluasi Fungsi Objektif:

   • (0,0): Z = 0
   • (0,4): Z = 280000
   • (3,4): Z = 410000
   • (5,0): Z = 250000

5. Solusi Optimal: Titik (3,4) menghasilkan keuntungan maksimum yaitu Rp 410.000. Ini menunjukkan bahwa perusahaan harus memproduksi 3 unit produk A dan 4 unit produk B untuk memaksimalkan keuntungan. Ini adalah solusi tunggal.

Kesimpulan

Linear programming dengan satu solusi memberikan solusi yang jelas dan pasti untuk masalah optimisasi. Dengan memahami langkah-langkah dan contoh yang diberikan, Anda akan mampu menyelesaikan berbagai masalah linear programming yang memiliki solusi optimal tunggal. Ingatlah untuk selalu menggambar grafik dengan teliti untuk memastikan akurasi dalam menentukan daerah feasible dan titik-titik sudutnya. Praktik dan latihan akan meningkatkan pemahaman dan kemampuan Anda dalam menyelesaikan masalah ini.