Soal Dan Solusi Persamaan Defferensial Bernoulli

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 25, 2025

48

Share

Persamaan Diferensial Bernoulli: Soal dan Solusi Lengkap

Persamaan diferensial Bernoulli merupakan jenis persamaan diferensial orde satu yang non-linear. Memahami dan menyelesaikan persamaan ini sangat penting dalam berbagai aplikasi, mulai dari fisika dan teknik hingga ekonomi dan biologi. Artikel ini akan memberikan panduan lengkap tentang cara menyelesaikan persamaan diferensial Bernoulli, lengkap dengan contoh soal dan solusi langkah demi langkah.

Memahami Persamaan Diferensial Bernoulli

Persamaan diferensial Bernoulli memiliki bentuk umum:

dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ

di mana n adalah konstanta real (n ≠ 0 dan n ≠ 1). Perhatikan bahwa jika n = 0 atau n = 1, persamaan tersebut akan menjadi persamaan diferensial linear orde satu yang lebih mudah diselesaikan.

Langkah-Langkah Menyelesaikan Persamaan Diferensial Bernoulli

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial Bernoulli, kita perlu melakukan substitusi untuk mengubahnya menjadi persamaan linear. Berikut langkah-langkahnya:

1. Bagi kedua ruas dengan yⁿ: Ini akan menghasilkan persamaan:

   y^-ndy/dx + P(x)y^1-n = Q(x)

2. Substitusi: Lakukan substitusi v = y^1-n. Kemudian, hitung turunan v terhadap x:

   dv/dx = (1-n)y^-ndy/dx

3. Substitusikan ke persamaan: Substitusikan v dan dv/dx ke dalam persamaan yang telah dibagi dengan yⁿ. Ini akan menghasilkan persamaan linear orde satu:

   (1/(1-n))dv/dx + P(x)v = Q(x)

4. Selesaikan persamaan linear: Selesaikan persamaan linear orde satu yang dihasilkan menggunakan faktor integral atau metode lain yang sesuai. Ingat, persamaan linear orde satu memiliki bentuk umum:

   dy/dx + P(x)y = Q(x)

   dan faktor integralnya adalah:

   μ(x) = e^∫P(x)dx

5. Substitusikan kembali: Setelah mendapatkan solusi untuk v(x), substitusikan kembali v = y^1-n untuk mendapatkan solusi untuk y(x).

Contoh Soal dan Solusi

Mari kita coba selesaikan soal berikut:

dy/dx + y = xy²

1. Identifikasi n: Dalam soal ini, n = 2.

2. Bagi dengan y²:

   y^-2dy/dx + y^-1 = x

3. Substitusi: Misalkan v = y^1-2 = y^-1. Maka dv/dx = -y^-2dy/dx.

4. Substitusikan ke persamaan:

   -dv/dx + v = x

   atau

   dv/dx - v = -x

5. Selesaikan persamaan linear: Faktor integralnya adalah e^∫-1dx = e^-x. Kalikan kedua ruas dengan faktor integral:

   e^-xdv/dx - ve^-x = -xe^-x

   Sisi kiri merupakan turunan dari ve^-x. Maka:

   d(ve^-x)/dx = -xe^-x

   Integrasikan kedua ruas:

   ve^-x = xe^-x + e^-x + C

   dimana C adalah konstanta integrasi.

6. Substitusikan kembali: Karena v = y^-1, maka:

   y^-1e^-x = xe^-x + e^-x + C

   y^-1 = x + 1 + Ce^x

   y = 1/(x + 1 + Ce^x)

Ini adalah solusi umum persamaan diferensial Bernoulli yang diberikan. Nilai C dapat ditentukan jika diberikan kondisi awal.

Kesimpulan

Persamaan diferensial Bernoulli mungkin tampak rumit pada awalnya, tetapi dengan memahami langkah-langkah dan menerapkan substitusi yang tepat, kita dapat menyelesaikannya dengan mudah. Latihan dan pemahaman yang mendalam akan membantu Anda menguasai teknik ini dan mengaplikasikannya dalam berbagai konteks. Semoga artikel ini bermanfaat!