Mencari Solusi Persamaan dengan Metode Secant: Panduan Lengkap
Metode Secant adalah metode numerik iteratif yang digunakan untuk menemukan akar atau solusi dari suatu persamaan. Metode ini merupakan alternatif dari metode Newton-Raphson, dan seringkali lebih disukai karena tidak memerlukan perhitungan turunan fungsi. Artikel ini akan memberikan panduan lengkap tentang metode Secant, termasuk rumus, algoritma, dan contoh penerapannya.
Apa itu Metode Secant?
Metode Secant bekerja dengan mengaproksimasi akar persamaan menggunakan garis singgung yang menghubungkan dua titik pada grafik fungsi. Berbeda dengan metode Newton-Raphson yang menggunakan turunan fungsi untuk menentukan kemiringan garis singgung, metode Secant menggunakan kemiringan garis yang menghubungkan dua titik iterasi sebelumnya. Proses iterasi diulang hingga mencapai tingkat akurasi yang diinginkan.
Rumus Metode Secant
Rumus iterasi untuk metode Secant adalah sebagai berikut:
x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub> - f(x<sub>n</sub>) * [(x<sub>n</sub> - x<sub>n-1</sub>) / (f(x<sub>n</sub>) - f(x<sub>n-1</sub>))]
di mana:
- x<sub>n+1</sub> adalah aproksimasi akar pada iterasi ke-n+1.
- x<sub>n</sub> adalah aproksimasi akar pada iterasi ke-n.
- x<sub>n-1</sub> adalah aproksimasi akar pada iterasi ke-n-1.
- f(x<sub>n</sub>) adalah nilai fungsi pada x<sub>n</sub>.
- f(x<sub>n-1</sub>) adalah nilai fungsi pada x<sub>n-1</sub>.
Algoritma Metode Secant
Berikut langkah-langkah algoritma metode Secant:
- Tentukan fungsi f(x) yang ingin dicari akarnya.
- Pilih dua tebakan awal, x<sub>0</sub> dan x<sub>1</sub>, yang berada di dekat akar. Pilihan tebakan awal yang baik sangat penting untuk konvergensi metode.
- Hitung f(x<sub>0</sub>) dan f(x<sub>1</sub>).
- Gunakan rumus metode Secant untuk menghitung x<sub>2</sub>.
- Ulangi langkah 3 dan 4, dengan mengganti x<sub>n-1</sub> dan x<sub>n</sub> dengan x<sub>n</sub> dan x<sub>n+1</sub>, hingga kriteria berhenti terpenuhi. Kriteria berhenti bisa berupa jumlah iterasi maksimum yang telah dicapai, atau selisih antara dua iterasi berturut-turut kurang dari toleransi yang telah ditentukan (misalnya, |x<sub>n+1</sub> - x<sub>n</sub>| < Ξ΅).
- x<sub>n+1</sub> adalah aproksimasi akar persamaan.
Contoh Penerapan Metode Secant
Mari kita cari akar dari persamaan f(x) = xΒ² - 2 dengan tebakan awal x<sub>0</sub> = 1 dan x<sub>1</sub> = 2. Kita akan menggunakan toleransi Ξ΅ = 0.001.
| Iterasi (n) | x<sub>n-1</sub> | x<sub>n</sub> | f(x<sub>n-1</sub>) | f(x<sub>n</sub>) | x<sub>n+1</sub> | |x<sub>n+1</sub> - x<sub>n</sub>| | |---|---|---|---|---|---|---| | 0 | 1 | 2 | -1 | 2 | 1.5 | 0.5 | | 1 | 2 | 1.5 | 2 | 0.25 | 1.41667 | 0.08333 | | 2 | 1.5 | 1.41667 | 0.25 | -0.01157 | 1.41422 | 0.00245 | | 3 | 1.41667 | 1.41422 | -0.01157 | -0.00004 | 1.41421 | 0.00001 |
Setelah 3 iterasi, kita mendapatkan aproksimasi akar β 1.41421, yang merupakan aproksimasi akar kuadrat dari 2.
Kelebihan dan Kekurangan Metode Secant
Kelebihan:
- Tidak memerlukan perhitungan turunan fungsi. Ini merupakan keuntungan besar, terutama untuk fungsi yang kompleks atau sulit diturunkan.
- Konvergensi yang relatif cepat. Metode Secant umumnya memiliki konvergensi yang lebih cepat daripada metode biseksi, tetapi lebih lambat daripada metode Newton-Raphson.
Kekurangan:
- Membutuhkan dua tebakan awal.
- Tidak selalu konvergen. Pilihan tebakan awal yang buruk dapat menyebabkan metode tidak konvergen.
- Konvergensi superlinear, tetapi tidak kuadratik. Artinya, tingkat konvergensi lebih lambat daripada metode Newton-Raphson.
Kesimpulan
Metode Secant merupakan metode numerik yang efektif dan efisien untuk mencari akar persamaan, khususnya ketika perhitungan turunan fungsi rumit atau tidak praktis. Pemahaman yang baik tentang rumus, algoritma, dan batasannya akan membantu Anda dalam menerapkan metode ini secara efektif. Ingat untuk selalu memilih tebakan awal yang baik untuk memastikan konvergensi metode.
