Carikan Solusi Dari Persamaan Karakteristik Y Y 2y 0

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

May 12, 2025

52

Share

Mencari Solusi Persamaan Karakteristik: y'' + 2y' = 0

Persamaan diferensial orde dua homogen dengan koefisien konstan seperti y'' + 2y' = 0 dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan karakteristik. Metode ini memberikan solusi umum yang elegan dan efisien. Mari kita selesaikan persamaan ini langkah demi langkah.

1. Menentukan Persamaan Karakteristik

Langkah pertama adalah mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan karakteristik. Kita melakukan ini dengan mengasumsikan solusi berbentuk y = e^(mx), di mana 'm' adalah konstanta yang akan kita tentukan. Dengan mensubstitusikan asumsi ini ke dalam persamaan diferensial, kita memperoleh turunan pertama dan kedua:

• y' = me^(mx)
• y'' = m²e^(mx)

Substitusikan y, y', dan y'' ke dalam persamaan diferensial awal:

m²e^(mx) + 2me^(mx) = 0

Karena e^(mx) selalu positif dan tidak pernah nol, kita bisa membaginya dari persamaan tersebut, sehingga menghasilkan persamaan karakteristik:

m² + 2m = 0

2. Memecahkan Persamaan Karakteristik

Persamaan kuadrat ini mudah diselesaikan. Kita bisa memfaktorkan persamaan tersebut:

m(m + 2) = 0

Ini memberikan dua nilai untuk 'm':

• m₁ = 0
• m₂ = -2

3. Menentukan Solusi Umum

Dengan memiliki dua nilai berbeda untuk 'm', solusi umum persamaan diferensial orde dua ini berbentuk kombinasi linear dari solusi individual:

y = c₁e^(m₁x) + c₂e^(m₂x)

Substitusikan nilai m₁ dan m₂ yang telah kita temukan:

y = c₁e^(0x) + c₂e^(-2x)

Yang dapat disederhanakan menjadi:

y = c₁ + c₂e^(-2x)

di mana c₁ dan c₂ adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal atau batas.

4. Menentukan Konstanta (jika ada kondisi awal)

Jika diberikan kondisi awal, misalnya y(0) = A dan y'(0) = B, kita dapat menentukan nilai c₁ dan c₂. Misalnya, jika y(0) = 1 dan y'(0) = 0:

• 1 = c₁ + c₂e^(0) => 1 = c₁ + c₂
• y' = -2c₂e^(-2x)
• 0 = -2c₂e^(0) => 0 = -2c₂ => c₂ = 0

Oleh karena itu, c₁ = 1. Solusi spesifik dengan kondisi awal ini adalah:

y = 1

Kesimpulan

Metode persamaan karakteristik merupakan teknik yang efektif untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde dua homogen dengan koefisien konstan. Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, Anda dapat menemukan solusi umum dan, jika diberikan kondisi awal atau batas, solusi spesifik untuk persamaan tersebut. Ingatlah untuk selalu memeriksa solusi Anda untuk memastikan konsistensi dan keakuratan.