Contoh Soal Aljabar Linear Solusi Tunggal

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 04, 2025

41

Share

Contoh Soal Aljabar Linear: Sistem Persamaan Linear dengan Solusi Tunggal

Aljabar linear merupakan cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Memahami sistem persamaan linear dan cara menentukan solusi tunggalnya merupakan konsep fundamental dalam aljabar linear. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal aljabar linear yang memiliki solusi tunggal, lengkap dengan langkah-langkah penyelesaiannya. Kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss dan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Apa itu Solusi Tunggal?

Sebuah sistem persamaan linear dikatakan memiliki solusi tunggal jika hanya terdapat satu himpunan nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut. Berbeda dengan sistem yang memiliki tak hingga solusi atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Contoh Soal 1: Metode Eliminasi Gauss

Soal: Tentukan solusi tunggal dari sistem persamaan linear berikut:

x + 2y = 5
2x - y = 1

Penyelesaian:

Kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Eliminasi variabel: Kalikan persamaan pertama dengan -2, sehingga menjadi -2x - 4y = -10. Kemudian, jumlahkan persamaan ini dengan persamaan kedua:

   (-2x - 4y) + (2x - y) = -10 + 1 -5y = -9 y = 9/5

2. Substitusi: Substitusikan nilai y = 9/5 ke salah satu persamaan awal (misalnya, persamaan pertama):

   x + 2(9/5) = 5 x + 18/5 = 5 x = 5 - 18/5 x = 7/5

Jadi, solusi tunggal dari sistem persamaan ini adalah x = 7/5 dan y = 9/5.

Contoh Soal 2: Menggunakan Matriks

Soal: Temukan solusi tunggal dari sistem persamaan berikut:

3x + y - z = 2
x - 2y + z = 1
2x + 3y - 2z = 0

Penyelesaian:

Sistem persamaan linear ini dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks AX = B, di mana:

A = [[3, 1, -1], [1, -2, 1], [2, 3, -2]]

X = [[x], [y], [z]]

B = [[2], [1], [0]]

Untuk mencari solusi X, kita perlu menghitung invers matriks A (A⁻¹) dan mengalikannya dengan B: X = A⁻¹B. (Perhitungan invers matriks 3x3 cukup kompleks dan biasanya dilakukan dengan bantuan kalkulator atau software matematika.) Setelah menghitung A⁻¹, kita kalikan dengan B untuk mendapatkan nilai x, y, dan z yang merupakan solusi tunggal.

(Catatan: Perhitungan invers matriks dan perkalian matriks di sini dihilangkan karena keterbatasan ruang dan kompleksitasnya. Namun, prinsipnya adalah mencari invers matriks A dan kemudian mengalikannya dengan matriks B untuk mendapatkan solusi X.)

Tips dan Trik dalam Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

• Pilih metode yang tepat: Metode eliminasi Gauss cocok untuk sistem persamaan dengan sedikit variabel. Untuk sistem yang lebih besar atau kompleks, metode matriks lebih efisien.
• Periksa kembali hasil: Setelah mendapatkan solusi, selalu periksa kembali apakah solusi tersebut memenuhi semua persamaan dalam sistem.
• Gunakan alat bantu: Software matematika seperti MATLAB, Octave, atau bahkan kalkulator ilmiah dapat membantu dalam perhitungan invers matriks dan operasi matriks lainnya.

Semoga contoh-contoh soal dan penjelasan di atas membantu Anda memahami cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan solusi tunggal. Praktik yang konsisten adalah kunci untuk menguasai aljabar linear! Jangan ragu untuk mencoba berbagai soal latihan untuk mempertajam kemampuan Anda.