Contoh Soal Metode Selisih Maju dan Solusi Lengkap
Metode selisih maju adalah suatu teknik numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa (PDB) atau untuk mengaproksimasi turunan fungsi. Metode ini sangat berguna ketika solusi analitik sulit atau tidak mungkin ditemukan. Artikel ini akan membahas contoh soal metode selisih maju dan solusi lengkapnya, sehingga Anda dapat memahami dan menerapkan teknik ini dengan lebih baik.
Memahami Metode Selisih Maju
Metode selisih maju, juga dikenal sebagai metode Euler eksplisit, didasarkan pada pendekatan turunan pertama suatu fungsi menggunakan selisih maju:
f'(x) β (f(x + h) - f(x)) / h
di mana h adalah ukuran langkah (step size). Semakin kecil nilai h, semakin akurat aproksimasinya, tetapi juga akan memerlukan lebih banyak perhitungan.
Contoh Soal 1: Persamaan Diferensial Orde Pertama
Soal: Selesaikan persamaan diferensial berikut menggunakan metode selisih maju dengan h = 0.1, untuk rentang 0 β€ x β€ 1:
dy/dx = x + y, dengan kondisi awal y(0) = 1
Solusi:
-
Tentukan ukuran langkah (h): h = 0.1
-
Tentukan rumus iterasi: Berdasarkan rumus selisih maju, kita dapat menuliskan:
y<sub>i+1</sub> = y<sub>i</sub> + h * f(x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>)
di mana f(x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>) = x<sub>i</sub> + y<sub>i</sub>
-
Hitung iterasi:
-
i = 0: x<sub>0</sub> = 0, y<sub>0</sub> = 1 y<sub>1</sub> = y<sub>0</sub> + h * (x<sub>0</sub> + y<sub>0</sub>) = 1 + 0.1 * (0 + 1) = 1.1
-
i = 1: x<sub>1</sub> = 0.1, y<sub>1</sub> = 1.1 y<sub>2</sub> = y<sub>1</sub> + h * (x<sub>1</sub> + y<sub>1</sub>) = 1.1 + 0.1 * (0.1 + 1.1) = 1.22
-
i = 2: x<sub>2</sub> = 0.2, y<sub>2</sub> = 1.22 y<sub>3</sub> = y<sub>2</sub> + h * (x<sub>2</sub> + y<sub>2</sub>) = 1.22 + 0.1 * (0.2 + 1.22) = 1.362
Lanjutkan proses ini hingga x = 1.
-
-
Hasil: Anda akan mendapatkan nilai aproksimasi y untuk setiap nilai x. Ingatlah bahwa semakin kecil nilai h, semakin akurat hasilnya, namun juga akan membutuhkan lebih banyak perhitungan.
Contoh Soal 2: Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem) yang Lebih Kompleks
Soal: Terapkan metode selisih maju untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut dengan h = 0.05, untuk 0 β€ t β€ 0.2:
du/dt = t - uΒ², u(0) = 1
Solusi:
Langkah-langkahnya serupa dengan contoh sebelumnya. Anda akan mengulang proses iterasi menggunakan rumus:
u<sub>i+1</sub> = u<sub>i</sub> + h * (t<sub>i</sub> - u<sub>i</sub>Β²)
Ingatlah untuk mengganti nilai awal dan ukuran langkah yang diberikan.
Kesimpulan
Metode selisih maju merupakan metode sederhana namun efektif untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Meskipun memiliki keterbatasan dalam akurasi (terutama dengan h yang besar), metode ini memberikan pemahaman dasar tentang pendekatan numerik dalam menyelesaikan PDB. Praktek dan pemahaman yang mendalam akan membantu Anda dalam mengaplikasikan metode ini secara efisien dan mendapatkan solusi yang akurat. Cobalah untuk bereksperimen dengan nilai h yang berbeda dan bandingkan hasilnya untuk melihat pengaruh ukuran langkah terhadap akurasi solusi.
