Contoh Soal Penyelesaian Solusi Pd Dengan Deret Pangkat

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

2 min read

·

Apr 03, 2025

55

Share

Contoh Soal Penyelesaian Solusi Persamaan Diferensial (PD) dengan Deret Pangkat

Persamaan diferensial (PD) merupakan persamaan matematika yang melibatkan fungsi dan turunannya. Beberapa PD tidak dapat diselesaikan dengan metode standar. Dalam kasus ini, metode deret pangkat menawarkan solusi yang efektif. Metode ini melibatkan representasi solusi sebagai deret tak hingga pangkat x di sekitar titik tertentu. Mari kita lihat beberapa contoh soal dan penyelesaiannya.

Langkah-langkah Umum dalam Menyelesaikan PD dengan Deret Pangkat

Sebelum kita masuk ke contoh soal, berikut langkah-langkah umum yang perlu diingat:

1. Asumsikan Solusi: Asumsikan solusi berbentuk deret pangkat: y(x) = Σ (dari n=0 hingga ∞) aₙxⁿ

2. Hitung Turunan: Hitung turunan pertama, kedua, dan seterusnya dari y(x).

3. Substitusi: Substitusikan y(x) dan turunannya ke dalam persamaan diferensial.

4. Tentukan Koefisien: Samakan koefisien dari pangkat x yang sama pada kedua sisi persamaan. Ini akan menghasilkan relasi rekursi untuk koefisien aₙ.

5. Tentukan Koefisien Awal: Gunakan kondisi awal (jika ada) untuk menentukan nilai beberapa koefisien awal (a₀, a₁, dan seterusnya).

6. Tulis Solusi: Substitusikan koefisien yang telah ditemukan ke dalam deret pangkat untuk mendapatkan solusi.

Contoh Soal 1: Persamaan Diferensial Sederhana

Soal: Tentukan solusi deret pangkat dari persamaan diferensial y'' - y = 0 sekitar x = 0.

Penyelesaian:

1. Asumsikan Solusi: y(x) = Σ (dari n=0 hingga ∞) aₙxⁿ

2. Hitung Turunan: y'(x) = Σ (dari n=1 hingga ∞) naₙxⁿ⁻¹ dan y''(x) = Σ (dari n=2 hingga ∞) n(n-1)aₙxⁿ⁻²

3. Substitusi: Substitusikan ke dalam PD: Σ (dari n=2 hingga ∞) n(n-1)aₙxⁿ⁻² - Σ (dari n=0 hingga ∞) aₙxⁿ = 0

4. Tentukan Koefisien: Kita perlu menyamakan pangkat x. Setelah beberapa manipulasi aljabar, kita akan mendapatkan relasi rekursi: aₙ₊₂ = aₙ / ((n+2)(n+1))

5. Tentukan Koefisien Awal: a₀ dan a₁ merupakan koefisien awal yang bebas.

6. Tulis Solusi: Solusi umum akan berupa kombinasi linear dari dua solusi independen yang diperoleh dari a₀ dan a₁. Solusi ini akan melibatkan fungsi eksponensial.

Contoh Soal 2: Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel

Soal: Carilah solusi deret pangkat dari persamaan diferensial xy'' + y' + xy = 0 di sekitar x = 0. (Persamaan Bessel)

Penyelesaian: Soal ini lebih kompleks dan melibatkan langkah-langkah yang serupa, tetapi dengan relasi rekursi yang lebih rumit. Setelah melakukan substitusi dan penyesuaian indeks, Anda akan menemukan relasi rekursi untuk koefisien aₙ. Solusi akhirnya akan melibatkan fungsi Bessel. Detail penyelesaiannya cukup panjang dan membutuhkan pemahaman yang mendalam tentang manipulasi deret dan fungsi khusus.

Kesimpulan

Metode deret pangkat memberikan cara sistematis untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang mungkin sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode lain. Meskipun penyelesaiannya bisa rumit, terutama untuk persamaan yang lebih kompleks, memahami langkah-langkah umum dan melakukan manipulasi aljabar dengan cermat adalah kunci keberhasilan. Mempelajari contoh soal dan mempraktikkan penyelesaiannya akan sangat membantu dalam menguasai teknik ini. Ingatlah untuk selalu memeriksa jawaban Anda untuk memastikan kesesuaiannya dengan persamaan diferensial awal dan kondisi awal (jika ada).