Soal Dan Solusi Tentang Persamaan Diferensialbernoulli

𝕸𝖆𝖘 𝕬𝖓𝖉𝖞 𝕯𝖎𝖌𝖎𝖙𝖆𝖑 𝕸𝖊𝖉𝖎𝖆

3 min read

·

Apr 08, 2025

54

Share

Soal dan Solusi Mengenai Persamaan Diferensial Bernoulli: Panduan Lengkap

Persamaan diferensial Bernoulli, dinamakan sempena ahli matematik Jacob Bernoulli, merupakan kelas persamaan diferensial yang mempunyai aplikasi luas dalam pelbagai bidang sains dan kejuruteraan. Memahami dan menyelesaikan persamaan ini memerlukan pemahaman yang teguh tentang teknik penyelesaiannya. Artikel ini akan membimbing anda melalui konsep asas, teknik penyelesaian, dan beberapa contoh soal dan penyelesaiannya.

Apakah Persamaan Diferensial Bernoulli?

Persamaan diferensial Bernoulli adalah persamaan yang berbentuk:

dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ

di mana n adalah nombor nyata, dan P(x) dan Q(x) adalah fungsi-fungsi x. Perhatikan bahawa apabila n = 0 atau n = 1, persamaan ini akan menjadi persamaan linear yang boleh diselesaikan dengan kaedah faktor pengkamiran. Namun, untuk nilai n yang lain, kaedah penyelesaian yang berbeza diperlukan.

Teknik Penyelesaian Persamaan Bernoulli

Untuk menyelesaikan persamaan Bernoulli, kita perlu menggunakan penggantian yang akan menukarkan persamaan ini kepada persamaan linear. Penggantian yang sesuai ialah:

v = y^1-n

Dengan membezakan persamaan ini terhadap x, kita dapat:

dv/dx = (1-n)y^-n dy/dx

Kemudian, kita gantikan dy/dx dalam persamaan Bernoulli asal dengan ekspresi yang melibatkan dv/dx. Setelah penggantian ini, persamaan tersebut akan menjadi persamaan linear dalam v dan x, yang boleh diselesaikan dengan menggunakan faktor pengkamiran.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Mari kita terokai beberapa contoh untuk mengukuhkan pemahaman anda.

Soal 1:

Selesaikan persamaan diferensial Bernoulli:

dy/dx + y = xy²

Penyelesaian:

1. Kenal pasti nilai n: Dalam kes ini, n = 2.

2. Gunakan penggantian: v = y^1-2 = y^-1. Maka dv/dx = -y^-2 dy/dx.

3. Gantikan dalam persamaan asal: -y² dv/dx + y = xy². Bahagikan keseluruhan persamaan dengan -y²:

   dv/dx - y^-1 = -x

   dv/dx - v = -x

4. Selesaikan persamaan linear: Persamaan ini adalah persamaan linear dalam v. Faktor pengkamiran ialah e^{∫-1 dx} = e^-x. Darabkan persamaan dengan faktor pengkamiran:

   e^-x dv/dx - ve^-x = -xe^-x

   d/dx (ve^-x) = -xe^-x

5. Integrasikan kedua-dua belah:

   ve^-x = ∫-xe^-x dx (gunakan integrasi sebahagian)

   ve^-x = xe^-x + e^-x + C

6. Gantikan balik v:

   y^-1e^-x = xe^-x + e^-x + C

   y^-1 = x + 1 + Ce^x

   y = 1/(x + 1 + Ce^x)

Soal 2: (Contoh yang lebih mencabar boleh ditambah di sini dengan penyelesaian terperinci)

Aplikasi Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli mempunyai aplikasi yang meluas dalam pelbagai bidang, termasuk:

• Model pertumbuhan penduduk: Menggambarkan bagaimana saiz populasi berubah mengikut masa, mengambil kira faktor-faktor seperti kadar kelahiran dan kematian.
• Dinamik bendalir: Menganalisis aliran cecair, contohnya, dalam paip atau saluran.
• Kejuruteraan kimia: Membantu dalam pemodelan dan reka bentuk proses kimia.
• Kewangan kuantitatif: Digunakan dalam pemodelan harga aset dan pengurusan risiko.

Semoga panduan ini membantu anda memahami dan menyelesaikan persamaan diferensial Bernoulli dengan lebih berkesan. Ingatlah untuk selalu mengamalkan dengan pelbagai contoh soal untuk mengukuhkan pemahaman anda.